Парадокс Рассела

[epros]

Sergei Suvorov писал(а):

Насколько мне известно, в классической математике объект признаётся существующим, если не содержит противоречия с точки зрения формальной логики.

Противоречия бывают между утверждениями. В классической математике утверждение о существовании объекта должно быть либо истинным, либо ложным. Но если его ложность не доказана (и даже недоказуема), это ещё не значит, что утверждение истинно и объект существует.

[Sergei Suvorov]

epros писал(а):

Sergei Suvorov писал(а):

Насколько мне известно, в классической математике объект признаётся существующим, если не содержит противоречия с точки зрения формальной логики.

Противоречия бывают между утверждениями. В классической математике утверждение о существовании объекта должно быть либо истинным, либо ложным. Но если его ложность не доказана (и даже недоказуема), это ещё не значит, что утверждение истинно и объект существует.

Значит утверждение, что "множество Рассела" не существует недоказуемо?...

[AD]

Доказуемо, как и любое утверждение в противоречивой аксиоматике.

[epros]

Sergei Suvorov писал(а):

epros писал(а):

Противоречия бывают между утверждениями. В классической математике утверждение о существовании объекта должно быть либо истинным, либо ложным. Но если его ложность не доказана (и даже недоказуема), это ещё не значит, что утверждение истинно и объект существует.

Значит утверждение, что "множество Рассела" не существует недоказуемо?...

Из того, что я сказал, этого не следует. Утверждение о существовании множества всех ординарных множеств сводится к противоречию. И в классической, и даже в конструктивной логике это означает доказательство несуществования. Однако можно определить такие объекты, и доказательства существования которых нет, и к противоречию утверждение об их существовании не сводится. Например, нечётное совершенное число.

Так что Ваша логика: "существует всё, что непротиворечиво", - не работает.

[arqady]

ewert писал(а):

("критерий" -- это необходимое и достаточное условие чего-то)

имхо, критерий чего-то - это только достаточное условие этого чегота.

[ewert]

arqady писал(а):

ewert писал(а):

("критерий" -- это необходимое и достаточное условие чего-то)

имхо, критерий чего-то - это только достаточное условие этого чегота.

Нет.

[arqady]

Да.

[ewert]

Пример?

[arqady]

Любой.

[ewert]

Т.е. никакого.

[arqady]

Нет.

[ewert]

хорошо, сработаю за Вас. Берём чего-нить... ну принцип сжимающих отображений, к примеру. Если отображение сжимающее, то есть неподвижная точка.

Вы абсолютно уверены, что эту теорему принято называть "критерием сжимающих отображений"?

(на всякий случай напомню, что Вы любое достаточное условие обозвали критерием:

arqady в сообщении #135595 писал(а):

Любой.

)

Добавлено спустя 10 минут 34 секунды:

epros писал(а):

Так что Ваша логика: "существует всё, что непротиворечиво", - не работает.

Да, кстати, -- в некотором смысле утверждение

Sergei Suvorov в сообщении #134999 писал(а):

Я имею ввиду критерий в другом смысле. Насколько мне известно, в классической математике объект признаётся существующим, если не содержит противоречия с точки зрения формальной логики.

всё же работает. Если доказано, что некое утверждение невозможно ни доказать, ни опровергнуть, то его вполне можно принять в качестве некоторой дополнительной аксиомы. Будет ли с этого практический прок -- вопрос следующий.

[MaximKat]

arqady в сообщении #135581 писал(а):

имхо, критерий чего-то - это только достаточное условие этого чегота.

критерий - это необходимое и достаточное условие
а только достаточное условие - это достаточное условие

[arqady]

ewert писал(а):

хорошо, сработаю за Вас. Берём чего-нить...

"Чего-нить..." не надо брать. Критерий надо брать.

MaximKat писал(а):

критерий - это необходимое и достаточное условие

Вы уверены?

[MaximKat]

arqady в сообщении #135606 писал(а):

Вы уверены?

да