Вопрос (уравнение третьей степени в НЧ)

[TR63]

Имеется уравнение:

$$k_1^3+3k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm A=0$$

В разделе "Загадки..." рассмотрен случай $A=2024$, и доказано, что решений не существует.
Меня интересует случай $A=2(2p-1)$. При $A=(2;6)$ решения существуют.

Вопрос: существует ли натуральное $(p)$, при котором не существует нетривиальных решений. (Я таких задач решать не умею; мне достаточно примера, если он существует.)

Этот вопрос возник не просто из рассмотрения двух значений параметра. Он возник из другой гипотезы. Т.е., если найдётся $(p)$, при котором решений не существует, то придётся либо перепроверить выполнение условий гипотезы, либо гипотеза рассыплется.

[Andrey A]

Что значит нетривиальные решения? Решения могут быть целые и не целые. Не целые есть всегда, а чтобы кубическое уравнение имело целое решение, $k_1$ должно делить свободный член. Сократив на $k_1$, получаем квадратное уравнение: $k_1^2+3k_1-1=\dfrac{4(n^2-1)\mp A}{k_1}. Можно еще умножить на $4$ и получить $(2k_1+3)^2-13=\dfrac{16(n^2-1)\mp 4A}{k_1}$. Любое целое число можно выразить дробью с $k_1$ в знаменателе. В левой части функция от одной переменной, подставьте любое другое число, и целых решений не будет. $A,p,n$ - не очень понятно где тут аргументы, где что.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1355447 писал(а):

Решения могут быть целые и не целые.

В заголовке написано: уравнение в НЧ (в натуральных числах); $(p)$-параметр; остальные буквы-переменные.

TR63 в сообщении #1355404 писал(а):

При $A=(2;6)$ решения существуют.

Здесь при значении $p=1$и $p=2$ я нашла решения $(k_1;n)$ подбором.

Andrey A в сообщении #1355447 писал(а):

Что значит нетривиальные решения?

Должна сохраняться форма уравнения. Т.е. $k_1\neq0$ и $n\neq1$.

Andrey A в сообщении #1355447 писал(а):

целых решений не будет.

Это, если $k_1$ нецелое? (Я рассматриваю натуральные решения).

[Someone]

TR63 в сообщении #1355404 писал(а):

Меня интересует случай $A=2(2p-1)$. При $A=(2;6)$ решения существуют.

Я не понимаю, что это означает. Первое равенство определяет $A$ как число, второе — как упорядоченную пару чисел. Вы уж определитесь, что это такое и как это соотносится с вашим уравнением.

[TR63]

Someone в сообщении #1355459 писал(а):

При $A=(2;6)$

При $A=2$, т.е. $p=1$, будем иметь уравнение:
$k_1^3+3k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm 2=0$
При $A=6$
$k_1^3+3k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm 6=0$
Эти уравнения имеют натуральные решения.

TR63 в сообщении #1355404 писал(а):

Вопрос: существует ли натуральное $A=2(2p-1)$, при котором не существует нетривиальных решений

в уравнении:
$k_1^3+3k_1^2-k_1-4(n^2-1)\pm A=0$

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1355447 писал(а):

Можно еще умножить на $4$ и получить $(2k_1+3)^2-13=\dfrac{16(n^2-1)\mp 4A}{k_1}$.

Я понял, $n$ переменная, $p$ аргумент. $\mp 4A=\mp 4(4p-2)=\mp (16p-8).$ Возьмем для удобства с минусом, это не принципиально, тогда в числителе дроби имеем $16n^2-16p-8$. Домножая обратно на $k_1$, получаем $k_1((2k_1+3)^2-13)=16n^2-16p-8$. Обозначим левую часть буквой $t$. Тогда $p=n^2-\dfrac{t+8}{16}$. Значит $t$ - число вида $16m+8$, т.е. при делении на $8$ должно давать в остатке $0$, в частном нечетное число. Тогда $p$ целое. Рассмотрим $t=k_1((2k_1+3)^2-13)$. Выражение в скобочках при делении на $4$ дает в частном нечетное. Значит $k_1$ должно давать нечетное при делении на $2$, т.е. $k_1=2u$, где $u$ некоторое нечетное. $t=2u((4u+3)^2-13)$ и $p=n^2-\dfrac{u((4u+3)^2-13)+4}{8}$. $A=4p-2.$
$p$ функция от двух переменных $(n,u)$, и я затрудняюсь сказать любое ли это число. Попробуйте поэкспериментировать.

[TR63]

Andrey A, спасибо.

Andrey A в сообщении #1355479 писал(а):

$(p)$функция от двух переменных $(n,u)$, и я затрудняюсь сказать любое ли это число. Попробуйте поэкспериментировать.

Да, для произвольного $A(p)$ это задача сложновата. Я предполагаю, что контрпример эксперимент не выявит. Здесь нужно аналитическое решение.

[TR63]

TR63 в сообщении #1355485 писал(а):

Я предполагаю, что контрпример эксперимент не выявит.

Увы, это гипотетическое предположение сделано на основании рассуждения с ошибкой в логике рассуждения (не учла область определения). Но любой результат (существует/не существует был бы мне интересен).

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1355479 писал(а):

$p=n^2-\dfrac{u((4u+3)^2-13)+4}{8}$. $A=4p-2.$

Как так. Подставляйте в формулу нечетные $u$ и любые $n$, получите все возможные $p$. А по поводу "/не существует" есть конечно ограничения. Например дробь в формуле всегда $2 \mod 3$, поэтому $p$ не может быть кратно трём, значит могут быть запреты и по другим модулям. Есть еще подозрение, что на $u$ вида $2m(m+1) \pm 1$ приходятся локальные минимумы значения $p=m(m+1)-1$ (если брать ближайший квадрат), и меньшего $p$ уже не получим. Но тут уверенности никакой.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1355756 писал(а):

поэтому $p$ не может быть кратно трём

Т.е. уже при $A=10$ решений не существует. (Правда, я не поняла, почему $(p)$ не может быть кратно трём.)
Andrey A, спасибо. Мне достаточно и одного контрпримера.

[Andrey A]

Дробь в формуле - число вида $3l+2$, а квадратов таких не бывает. Поэтому разность не делится на $3$.

[Shadow]

Andrey A в сообщении #1355756 писал(а):

поэтому $p$ не может быть кратно трём

Противоречие по модулю 3 не может быть.

TR63 в сообщении #1355771 писал(а):

Т.е. уже при $A=10$ решений не существует

$k_1=-2,n=0$
Но конечно есть такие $A$, напр. $A=62$. Доказательство проверю и напишу позже.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1355780 писал(а):

Поэтому разность не делится на $3$.

При условии:

Andrey A в сообщении #1355780 писал(а):

число вида $3l+2$, а квадратов таких не бывает

Это рассуждение понятно.
Мне не понятно, почему не существует квадратов вида $3l+2$. (Интересный факт, но мне неизвестен.) По последней цифре противоречия нет. Других соображений для доказательства этого (возможно тривиального) факта не вижу. Andrey A, пожалуйста, подскажите, как доказать это свойство. Ещё пробовала рассмотреть отдельно чётные и нечётные квадраты. Пока не получается.

-- 22.11.2018, 12:47 --

Shadow,
$k_1=-2,n=0$
Эти значения не входят в рассматриваемую область определения (нарушается форма и ноль не натуральное).

Shadow в сообщении #1355846 писал(а):

напр. $A=62$. Доказательство проверю и напишу позже

Заранее спасибо.

[Andrey A]

TR63 в сообщении #1355849 писал(а):

По последней цифре противоречия нет

Противоречие есть, если записывать квадраты в троичной системе счисления. $2$ - квадратичный невычет по $\mod 3$, факт вовсе не тривиальный. Почитайте хотя бы Гаусса, это на самом деле нетрудно. Квадраты при делении на некоторый фиксированный модуль дают не любые остатки, а Вы знаете только по $\mod 10.$

Shadow да, видите ли. Здесь нужно в НЧ.

-- 22.11.2018, 12:14 --

Shadow в сообщении #1355846 писал(а):

Противоречие по модулю 3 не может быть.

Дайте контрпример $p\ \vdots\ 3$. В Вашем примере $p=-2$. Задача в целых, но в условии $\pm$, сразу запутки начинаются.

[TR63]

Andrey A в сообщении #1355780 писал(а):

число вида $3l+2$, а квадратов таких не бывает

Надеюсь, что это утверждение верное, и приму к сведению, если не будет возражений по этому свойству.