На всякий случай напишу, может быть будет интересно.
Если привыкнуть к рассматриваемым объектам, у уравнений первого порядка

очень простая геометрия, работа с ней позволяет интегрировать их.
В пространстве бесконечных струй (пространстве с координатами

) рассмотрим векторное поле

Это поле является высшей симметрией распределения, натянутого на дифференцирования

,

. В самом деле,
![$[D_x, X_F] = [D_t, X_F] = 0$ $[D_x, X_F] = [D_t, X_F] = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/8/7c82a3ed73f47186829b73df9bd737ba82.png)
. При этом данное поле является тривиальной симметрией уравнения

, поскольку в каждой точке на поверхности, отождествляемой с бесконечно продолженным уравнением, оно вообще равно нулю. А ещё поля

и

тоже его тривиальные симметрии.
Фокус с уравнениями первого порядка заключается в том, что всегда есть cимметрия уравнения вида

, у которой на этом бесконечномерном пространстве есть поток (запросто в координатах показывается). Так получающееся поле называется характеристическим. Действие его потока на приличную кривую-начальное условие и даёт искомое решение. Приличная -- это та, которая не инвариантна относительно его действия.
В данном случае

,

тогда нужная нам симметрия (характеристическое поле) имеет вид

а проекцию этого поля можно корректно интегрировать и в пространстве

, не возясь с бесконечномерностью.
При этом начальное условие даёт кривую

.
Из точек этой кривой остаётся выпустить поток характеристического поля. Получится ответ к задаче, но в параметрической форме

Для получения окончательного ответа можно перепредставить эту поверхность как график

и на этом всё. Вроде конкретные вычисления проводятся быстро.
К сожалению, геометрия систем или уравнений старших порядков устроена гораздо сложнее.