Дифференциальное уравнение

[NRX]

Здравствуйте, с чего начать решение данного дифференциального уравнения?

$\frac{\partial U}{\partial x} \frac{\partial U}{\partial t}=U$

$U(x, 0) = x^2$

[thething]

С записи характеристической системы и поиска двух её независимых первых интегралов.

-- 21.11.2018, 15:35 --

Это если искать общее решение. Для решения задачи Коши там кое-чего ещё надо делать предварительно.. Так что давайте пока разберёмся с характеристической системой.

[VanD]

На всякий случай напишу, может быть будет интересно.

Если привыкнуть к рассматриваемым объектам, у уравнений первого порядка $F = 0$ очень простая геометрия, работа с ней позволяет интегрировать их.

В пространстве бесконечных струй (пространстве с координатами $x, t, u, u_x, u_t, u_{xx}, ...$) рассмотрим векторное поле

$$X_F = F\partial_u + D_x(F)\partial_{u_x} + D_t(F)\partial_{u_t} + D_{x}\circ D_x(F)\partial_{u_{xx}} + ... $$

Это поле является высшей симметрией распределения, натянутого на дифференцирования $D_x$, $D_t$. В самом деле, $[D_x, X_F] = [D_t, X_F] = 0$. При этом данное поле является тривиальной симметрией уравнения $F = 0$, поскольку в каждой точке на поверхности, отождествляемой с бесконечно продолженным уравнением, оно вообще равно нулю. А ещё поля $D_x$ и $D_t$ тоже его тривиальные симметрии.

Фокус с уравнениями первого порядка заключается в том, что всегда есть cимметрия уравнения вида $X_F + aD_x + bD_t$, у которой на этом бесконечномерном пространстве есть поток (запросто в координатах показывается). Так получающееся поле называется характеристическим. Действие его потока на приличную кривую-начальное условие и даёт искомое решение. Приличная -- это та, которая не инвариантна относительно его действия.

В данном случае $F = u_xu_t - u$,

$$X_F = (u_xu_t - u)\partial_u + (u_{xx}u_t + u_xu_{xt} - u_x)\partial_{u_x} + (u_{xt}u_t + u_xu_{tt} - u_t)\partial_{u_t} + ... \,,$$

тогда нужная нам симметрия (характеристическое поле) имеет вид

$$X_F - u_tD_x - u_xD_t = -u_t\partial_x - u_x\partial_t - (u + u_xu_t)\partial_u - u_x\partial_{u_x} - u_t\partial_{u_t} + ...\,,$$

а проекцию этого поля можно корректно интегрировать и в пространстве $(x, t, u, u_x, u_t)$, не возясь с бесконечномерностью.

При этом начальное условие даёт кривую $\gamma(\tau) = \left(\tau, 0, \tau^2, 2\tau, \dfrac{\tau}{2}\right)$.

Из точек этой кривой остаётся выпустить поток характеристического поля. Получится ответ к задаче, но в параметрической форме

$$\left(\tau + \dfrac{\tau}{2}(e^{-a} - 1), 2\tau(e^{-a} - 1), e^{-2a}\tau^2, ...\right)$$

Для получения окончательного ответа можно перепредставить эту поверхность как график $(x, t, u(x, t), ...)$ и на этом всё. Вроде конкретные вычисления проводятся быстро.

К сожалению, геометрия систем или уравнений старших порядков устроена гораздо сложнее.

[pogulyat_vyshel]

NRX
Вот я сейчас напишу только формулы, а вы попробуйте правильно их проинтерпретировать :)

$$p=U_x,\quad U_t=U/U_x=U/p,\quad \dot p=U_{xt}+U_{xx}\dot x=1-\frac{U}{U_x^2}U_{xx}+U_{xx}\dot x$$

$$\dot x=U/p^2,\quad \dot p=1,\quad \dot U=U_t+U_{x}\dot x=2U/p$$