2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение18.11.2018, 00:53 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Изображение

Дословный перевод: «Определите все пары $(x, y)$ целых натуральных, для котороых число $\dfrac{x^2+1}{y^2}+4$ - полный квадрат».

Вольный перевод: просто решите в натуральных числах уравнение $\dfrac{x^2+1}{y^2}+4=z^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение18.11.2018, 08:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14430
Видно, что первая переменная четна, вторая и третья нечетны. То есть, например, $(2,1,3)$. Делаем соответствующую замену.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение18.11.2018, 12:12 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение18.11.2018, 16:24 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
gris
Только там не так всё просто...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение19.11.2018, 02:20 


20/04/10
1776
Рассмотрим $x^2+1=(z^2-4)y^2$ по модулю 3, откуда заключаем, что $z=3k$. Учитывая замечание gris запишем $z=3(2m+1)$. Имеем уравнение Пелля $x^2-n y^2=-1$, где $n=9(2m+1)^2-4$. При $ m=0$ ($n=5$) оно имеет бесконечное множество решений A049629, A007805. Остается доказать, что для других $m$ решений не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение в натуральных числах из арабского учебника
Сообщение19.11.2018, 15:55 


26/08/11
2057
Для других $z$ решений не будет. Пусть $z=2n+1$. Уравнение принимает вид $x^2-(4n^2+4n-3)y=-1$

$\dfrac{x}{y}$ должно быть подходящей дробью для $\sqrt{4n^2+4n-3}$

Разложение $\sqrt{4n^2+4n-3}$ в непрерывные дроби, при $n>1$ всегда

$[2n;\overline{1,n-1,2,n-1,1,4n}]$

и для подходящих $x,y$ выражение $x^2-(4n^2+4n-3)y$ принимает одно из значений $\{1,3-4n,4,1-2n\}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group