Уравнение в натуральных числах из арабского учебника

[Ktina]

Дословный перевод: «Определите все пары $(x, y)$ целых натуральных, для котороых число $\dfrac{x^2+1}{y^2}+4$ - полный квадрат».

Вольный перевод: просто решите в натуральных числах уравнение $\dfrac{x^2+1}{y^2}+4=z^2.$

[gris]

Видно, что первая переменная четна, вторая и третья нечетны. То есть, например, $(2,1,3)$. Делаем соответствующую замену.

[Ktina]

gris
Большое спасибо!

[Ktina]

gris
Только там не так всё просто...

[lel0lel]

Рассмотрим $x^2+1=(z^2-4)y^2$ по модулю 3, откуда заключаем, что $z=3k$. Учитывая замечание gris запишем $z=3(2m+1)$. Имеем уравнение Пелля $x^2-n y^2=-1$, где $n=9(2m+1)^2-4$. При $ m=0$ ($n=5$) оно имеет бесконечное множество решений A049629, A007805. Остается доказать, что для других $m$ решений не будет.

[Shadow]

Для других $z$ решений не будет. Пусть $z=2n+1$. Уравнение принимает вид $x^2-(4n^2+4n-3)y=-1$

$\dfrac{x}{y}$ должно быть подходящей дробью для $\sqrt{4n^2+4n-3}$

Разложение $\sqrt{4n^2+4n-3}$ в непрерывные дроби, при $n>1$ всегда

$[2n;\overline{1,n-1,2,n-1,1,4n}]$

и для подходящих $x,y$ выражение $x^2-(4n^2+4n-3)y$ принимает одно из значений $\{1,3-4n,4,1-2n\}$