Гравитационная масса движущейся материальной частицы, ч. сл.

[piksel]

Интересует мнение о предлагаемом подходе к динамике частиц и если кто найдет ошибку, буду благодарен.


1.Динамика частиц в общем виде

В общей теории относительности рассматривается четырехмерное псевдориманово пространство-время с координатами $x^{i}$ и метрическими коэффициентами $g_{ij}$, интервал в котором записывается в виде

$$ds^{2} =g_{ij} dx^{i} dx^{j}. $$

Рассмотрим динамику материальной частицы. Запишем вначале уравнения движения в общем виде. Лагранжиан материальной частицы с массой покоя m следующий

$$L=cm\sqrt{g_{ij} u^{i} u^{j} } ,\,\, (1)$$

где $u^{i} =dx^{i} /ds$ - вектор 4-скорости частицы. Обобщенные импульсы будут

$$p_{i} =\frac{\partial L}{\partial u^{i} } =cmu_{i} . \,\,(2)$$

С физическими энергией и импульсами частицы следует связывать контравариантные импульсы

$$p^{j} =g^{ji} p_{i} =cmu^{i} .$$

Будем полагать $x^{i} =(ct,x^{2} ,x^{3} ,x^{4} )$ , где $c$ - скорость света, $t$ - время и $x^{k}, k=2,3,4$ – пространственные координаты. Тогда энергия $p^{1} $ будет положительной, а направление импульса $p^{k} $ будет совпадать с направлением вектора пространственной скорости.
В механике Лагранжа обобщенная сила определяется

$$F_{i} =\frac{\partial L}{\partial x^{i} } .\,\, (3)$$

С гравитационной силой будем связывать ассоциированный вектор с верхними индексами

$$F^{l} =cg^{l\lambda } F_{\lambda } =\frac{1}{2} c^{2} mg^{l\lambda } \frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{\lambda } } u^{i} u^{j} . \,\, (4) $$

Согласно общей теории относительности движение материальной частицы определяется уравнениями геодезической линии. Для Лагранжиана (1) они тождественны уравнениям Эйлера-Лагранжа

$$\frac{d}{ds } \frac{\partial L}{\partial u^{\lambda } } -\frac{\partial L}{\partial x^{\lambda } } =0\,\, (5)$$

С учетом выражений для обобщенных импульсов (2) и сил (3) эти уравнения переписываются в виде

$$\frac{dp_{\lambda } }{ds } -F_{\lambda } =0. $$

Переходя в них к переменным с верхними индексами, получим

$$F^{j} =\frac{dp^{j} }{ds } +g^{j\lambda } \frac{dg_{\lambda i} }{ds } p^{i} .\,\, (6)$$

Второй член в правой части это производная вектора эффективных энергии и импульса частицы, передаваемых гравитационному полю. При рассмотрении динамики отдельной частицы этот вектор является аналогом псевдотензора, используемого в законах сохранения в тензорном виде.


2.Метрика Шварцшильда в сферических координатах

Определим пассивную гравитационную массу материальной частицы из выражения для силы, используя аналогию с ньютоновской гравитацией. Гравитационное поле сферического тела вне его источника в сферических координатах$x^{i} =(ct,r,\theta ,\varphi )$ описывается метрикой Шварцшильда

$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{r} \right)dt^{2} -\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)^{-1} dr^{2} -r^{2} (d\theta ^{2} +\sin ^{2} \theta d\phi ^{2} ),$$

где постоянная

$$\alpha =\frac{2\gamma M}{c^{2} } $$

задается гравитационной постоянной $\gamma $ и гравитационной массой тела $M$. Получим вектор 4-скорости материальной частицы, движущейся в нем. Уравнения (5) для времени-подобного интервала при лагранжиане (1) для будут

$$\frac{d}{ds} \left[\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)u^{1} \right]=0, \,\, (7)$$

$$\frac{d}{ds} \left(r^{2} u^{3} \right)-r^{2} \sin \theta \cos \, \theta {\kern 1pt} u^{4{\kern 1pt} 2} =0,\,\, (8);$$

$$\frac{d}{ds} \left(r^{2} \sin ^{2} \theta \, u^{4} \right)=0.\,\ ,(9) $$

Дополнительно из выражения для метрики следует

$$\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)\, \left(u^{1} \right)^{2} -\frac{1}{\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} \left(u^{2} \right)^{2} -r^{2} \left[\left(u^{3} \right)^{2} +\sin ^{2} \theta \, \left(u^{4} \right)^{2} \right]=1. \,\, (10)$$

Из уравнения(7) находим

$$\frac{cdt}{ds} =\eta \left(1-\frac{\alpha }{r} \right)^{-1} ,\,\, (11) $$

где $\eta $ - постоянная. Выберем систему координат так, что движение частицы происходит в плоскости $\theta =\frac{\pi }{2} $, что дает

$$\frac{d\theta }{ds} =0.\,\, (12)$$

Тогда (9) приносит

$$\frac{d\varphi }{ds} =\frac{A}{r^{2} } , \,\, (13)$$

где $A$ - постоянная. Подставляя (7)-(9) в (10), получаем

$$\frac{dr}{ds} =\pm \sqrt{\eta ^{2} -\left(1+\frac{A^{2} }{r^{2} } \right)\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} . \,\, (14) $$

Деление этого уравнения на (11) дает

$$\dot{r}=\pm c\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)\sqrt{1-\frac{1}{\eta ^{2} } \left(1+\frac{A^{2} }{r^{2} } \right)\left(1-\frac{\alpha }{r} \right)} . $$

Для мировых линий с неограниченным$r$ значение $\eta $ определяется из значения радиальной скорости на бесконечности $\dot{r}=V$ и составит

$$\eta =\left(1-\frac{V^{2} }{c^{2} } \right)^{-1/2} .\,\, (15)$$

Подставляя найденные компоненты вектора 4-скорости в выражение для гравитационной силы (4) находим единственную ненулевую компоненту вектора

$$ F_{s}^{2} =\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{1}{2} -\frac{\eta ^{2} r}{r-\alpha } \right)+\frac{cA^{2} }{r^{3} } \left(1-\frac{\alpha }{2r} \right). \,\, (16)$$

При слабой гравитации, радиальном движении, $A=0$, и $\alpha /r<<V^{2} /c^{2} $ она преобразуется к виду

$$ F_{s}^{2} =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } \right). \,\, (17)$$

3.Метрика Шварцшильда в декартовых координатах

Однако при рассмотрении нерадиального движения $A\ne 0$ во избежание появления фиктивной составляющей силы, обусловленной использованием сферической системы координат, следует использовать форму метрики Шварцшильда в прямоугольных координатах $(t,x,y,z)$. К ней можно перейти с помощью преобразования

$$r=\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{2} \bar{r}\,\, (18)$$

при $\bar{r}=\sqrt{x^{2} +y^{2} +z^{2} } ,$ которое приносит

$$ds^{2} =c^{2} \left(\frac{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} (dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ).\,\, (19)$$

Будем рассматривать движение в плоскости $z=0$ и искать силу, действующую на частицу, в точке $(t,x,0,0)$ , что соответствует значению угловой координаты $\phi =0$ в сферической системе отсчета. Преобразования координат в плоскости будут следующими:

$$x=\bar{r}\cos \varphi ,\quad \quad y=\bar{r}\sin \varphi .\,\, (20)$$

Ненулевые пространственные компоненты вектора 4-скорости в прямоугольной системе координат в рассматриваемой точке есть

$$u_{r}^{2} =\frac{dx}{ds } =\frac{d\bar{r}}{ds } ,\quad \quad u_{r}^{3} =\frac{dy}{ds } =\frac{d\varphi }{ds } \bar{r}.\,\, (21)$$

Из преобразования (20) следует

$$dr=\left(1-\frac{\alpha ^{2} }{16\bar{r}^{2} } \right)d\bar{r}.$$

Ввиду ковариантности уравнений геодезических можно перейти от их решений для метрики Шварцшильда в сферических координатах (11)-(14) к решению для метрики (19), сделав в них преобразование (18) и подставляя пространственные скорости в (21). В результате получим ненулевые компоненты вектора 4-скорости:

$$u_{r}^{1} =\eta \left(\frac{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} , $$

$$u_{r}^{2} =\pm \frac{1}{\left(1-\frac{\alpha ^{2} }{16\bar{r}^{2} } \right)} \left[\eta ^{2} -\left(1+\frac{A^{2} }{\bar{r}^{2} \left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} } \right)\left(\frac{1-\frac{\alpha }{4\bar{r}} }{1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} } \right)^{2} \right]^{1/2} , $$

$$u_{r}^{3} =\frac{A}{\bar{r}\left(1+\frac{\alpha }{4\bar{r}} \right)^{4} } . $$

Подставляя полученные компоненты вектора 4-скорости в выражение для силы (4) получаем единственную ее ненулевую компоненту

$$F_{r}^{2} =-\frac{1}{2} c^{2} m\frac{\alpha }{\overline{r^{2} }\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{3} } \left(\eta ^{2} \left[\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-3} +\left(1-\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right]-\left(1+\frac{\alpha }{4\overline{r}} \right)^{-2} \right).\,\, (22)$$

Как видим, это выражение не зависит от постоянной, которая определяется угловой скоростью. Таким образом, гравитационная сила, действующая на частицу, зависит только от расстояния от центра гравитации и величины скорости на бесконечности. Полагая гравитацию слабой и $\alpha /r<<V^{2} /c^{2}$, для частицы, движущейся по неограниченной мировой линии, с учетом (15) находим

$$F_{r}^{2} =-\frac{c^{2} m\alpha }{2r^{2} } \left(\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } \right),$$

что совпадает с выражением для силы в сферических координатах (17) при радиальном движении. Это уравнение дает закон гравитации Ньютона при пассивной гравитационной массе материальной частицы

$$m_{pg} =m\frac{c^{2} +V^{2} }{c^{2} -V^{2} } .\,\, (23) $$

Однако в общем случае ввиду нековариантности силы (4) при подстановке преобразований координат (18), (20) в формулу для силы в поле Шварцшильда в сферических координатах (16) полученное выражение не совпадет с (22). Поэтому о аналогии с ньютоновской гравитацией и постоянной гравитационной массе материальной частицы можно говорить только в пределе слабой гравитации. Приведенные в п.п. 1-3 результаты содержатся в книге В.Б. Беляев, Динамика в общей теории относительности: вариационные методы.


4.Активная гравитационная масса

При слабой гравитации метрика (19) в приближенном виде становится следующей

$$ ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)(dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ). $$

Получим теперь активную гравитационную массу движущегося относительно системы отсчета $K'=(ct',x'_{}^{2} ,x'_{}^{3} ,x'_{}^{4} )$ со скоростью $v$ источника гравитации, применив к ней преобразования Лоренца

$$t=\frac{t'+\frac{v}{c^{2} } x'^{2} }{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } },\,\, x^{2} =\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } ,\,\,x^{3} =x'^{3},\,\,x^{4} =x'^{4}$$

Преобразование координат при

$$\bar{r}'=\sqrt{\left(\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } \right)^{2} +y'^{2} +z'^{2} } $$

приносит

$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)dt'^{2} -\frac{4c^{2} v}{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} dt'dx'-\left(1+\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)dx'^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}'} \right)(dy'^{2} +{\kern 1pt} dz'^{2} ). $$

Рассмотрим систему из двух тел с одинаковой массой $M$, движущихся в противоположных направлениях с одинаковыми по величине скоростями и в момент времени $t'=0$, находящимися вблизи друг друга так, что расстоянием между ними можно пренебречь. При представлении метрических коэффициентов в виде

$$ g_{ij} =\eta _{ij} +h_{ij} , $$

где $\eta _{ij} $ - соответствуют метрике Миньковского, в случае слабой гравитации при рассмотрении общего поля, создаваемого n системами, согласно Вайнбергу, Гравитация и Космология, величина $h_{ij}$ приближенно будет суммой$h_{ij}^{n} $. Отсюда следует, что поле рассматриваемой системы будет описываться метрикой

$$ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)dt'^{2} -\left(1+\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)dx'^{2} -\left(1+\frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'} \right)(dy'^{2} +{\kern 1pt} dz'^{2} ) $$

при $\alpha _{1} =2\alpha .$ Получим ускорение материальной частицы в момент времени, когда она покоится в системе отсчета $K'$. Уравнения геодезических следующие
$\frac{du^{i} }{ds} +\Gamma _{kl}^{i} u^{k} u^{l} =0$$, где

$$\Gamma _{ij}^{l} =\frac{1}{2} g^{lk} \left(\frac{\partial g_{jk} }{\partial x^{i} } +\frac{\partial g_{ik} }{\partial x^{j} } -\frac{\partial g_{ij} }{\partial x^{k} } \right)$$

- символы Кристоффеля. Для пространственных координат с индексами $k=2,3,4$ находим

$$\frac{du^{k} }{ds} =\frac{1}{2} g^{kk} \frac{\partial g_{11} }{\partial x^{k} } \left(u^{1} \right)^{2}.\,\, (24)$$

При домножении на коэффициент $c^{2} m$ правая часть этого выражения совпадет с гравитационной силой, получаемой из (4), так как согласно (6) неподвижная частица не передает импульс гравитационному полю:

$$\frac{d\stackrel{\leftrightarrow}{p}^{k} }{ds} =g^{k\lambda } \frac{dg_{\lambda i} }{ds} p^{i} =0.$$

Уравнение (24) без учета малых величин большего порядка приносит координатные ускорения

$$\ddot{x}'=\frac{1}{2} \frac{x'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } \frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} } , $$

$$\ddot{y}'=\frac{1}{2} y'\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} }$$

,

$$\ddot{z}'=\frac{1}{2} z'\frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } \frac{\alpha _{1} }{\bar{r}'^{3} }$$

.
в момент времени $t'=0$. Если пространственный радиус-вектор частицы перпендикулярен линии движения тел ($x'=0$), то полученный результат соответствует ньютоновской гравитации при активной гравитационной массе материальной частицы

$$M_{1g}^{} =M_{1} \frac{c^{2} +v^{2} }{c^{2} -v^{2} } ,$$

где $M_{1} =2M$. Поскольку тела движутся прямолинейно, их скорость совпадает со скоростью на бесконечности $v=V$ и полученное значение тождественно (23). Наличие Лоренц-фактора в качестве коэффициента при координате $x'$ объясняется тем, что движение частицы рассматривается в системе отсчета, относительно которой источники гравитации движутся вдоль этой координаты вместе с создаваемым ими полем.

[photon]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (Ф)»

[SergeyGubanov]

piksel в сообщении #1354576 писал(а):

4.Активная гравитационная масса

При слабой гравитации метрика (19) в приближенном виде становится следующей

$$ ds^{2} =c^{2} \left(1-\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)dt^{2} -\left(1+\frac{\alpha }{\bar{r}} \right)(dx^{2} +dy^{2} +{\kern 1pt} dz^{2} ). $$

Получим теперь активную гравитационную массу движущегося относительно системы отсчета $K'=(ct',x'_{}^{2} ,x'_{}^{3} ,x'_{}^{4} )$ со скоростью $v$ источника гравитации, применив к ней преобразования Лоренца

$$t=\frac{t'+\frac{v}{c^{2} } x'^{2} }{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } },\,\, x^{2} =\frac{x'^{2} +vt'}{\sqrt{1-\frac{v^{2} }{c^{2} } } } ,\,\,x^{3} =x'^{3},\,\,x^{4} =x'^{4}$$

Так делать нельзя.


Точное решение:

SergeyGubanov в сообщении #1016823 писал(а):

Можно переписать решение Шварцшильда в движущеся цилиндрической системе координат:

$$ ds^2 = c^2 dt^2 - \left(d\rho -V^{\rho} dt \right)^2 - \rho^2 d\varphi^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2, $$

$$ V^{\rho} = \frac{\rho A}{ \left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4} }, $$

$$ V^z = \frac{(z - z_0(t)) A}{\left( \rho^2 + (z - z_0(t))^2 \right)^{3/4}} + \frac{dz_0(t)}{dt}, $$

$$ A = \pm \sqrt{2 k M}. $$

В этой системе координат чёрная/белая дыра движется по траектории $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$.

[piksel]

SergeyGubanov в сообщении #1369053 писал(а):

Так делать нельзя.

Почему нельзя? Преобразования координат могут быть различными. Рассматривается слабая гравитация в координатной системе отсчета и находятся поправки к Ньютоновскому закону тяготения. Преобразования Лоренца здесь вполне применимы.

SergeyGubanov в сообщении #1369053 писал(а):

Точное решение:

В приведенной вами метрике есть движение не только вдоль цилиндрической оси, но и вдоль радиальной координаты. Условия, которые вы задали: $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$, не имеют смысла, поскольку дают сингулярность:
$ds^2 = c^2 dt^2 - \frac {A^2}{\rho^{1/2}}dt^2.$
Я не знаю, какие преобразования координат используются для получения метрики, которую вы называете решением Шварцшильда в движущеся цилиндрической системе координат, но, возможно, если проделать все без ошибок, то в пределе слабой гравитации получится тот же результат, что и при преобразованиях Лоренца.

[schekn]

piksel
Хотел мелкие замечания сделать.
Лучше писать не $u^2$, а $u^{(2)}$ , если у вас сверху индекс $2$ , а не степень.

Метрика (19) записана в изотропных координатах, но в прямоугольных ("декартовых") можно записать и метрику Шварцшильда в стандартном представлении и в гармоническом и в Пенлеве.
У Вайнберга они расписаны в главе $8$ ($8.2.15...$).

Далее у вас нумерация формул исчезает. И создается впечатления, что вы записали 2 метрики в разных системах отсчета, когда ось движется в одну сторону, а потом в противоположную. Нельзя складывать метрические части $h$, выделенные на фоне Минковского в разных системах отсчета. Если же это у вас 2 метрики в одной СО, то требуются пояснения, почему так. У вас их нет. И тогда перекрестные члены взаимно уничтожаются. Но наверное в слабых полях это верно.

[Guvertod]

schekn в сообщении #1369127 писал(а):

piksel
Хотел мелкие замечания сделать.
Лучше писать не $u^2$, а $u^{(2)}$ , если у вас сверху индекс $2$ , а не степень.

Так не делают. Лучше просто писать степень за скобками, если внутри величина с индексами.
piksel
В слабом приближении вы получили формулу некоторого к-та перед силой в "ньютоновском" виде, что называли "пассивной гравитационной массой", ошибок тут вроде нет.
Для "активной" - вы перешли в слабое приближение и поменяли СК с помощью ПЛ, а дальше - что-то логику не понял. Как у вас относительно движутся частица и источник, почему какая-то скорость не меняется?

[SergeyGubanov]

piksel в сообщении #1369114 писал(а):

Почему нельзя?

Привилегия делать какие угодно преобразования координат утрачивается мгновенно как только вместо точного решения общековариантных уравнений берётся нечто "приближённое" и никаким общековариантным уравнениям не удовлетворяющее. Общая ковариантность является дискретной характеристикой, у неё нет параметра малости. В данном случае рассматривается вакуумное решение общековариантных уравнений ОТО и тензор Риччи должен быть равен нулю точно $R_{\mu \nu} = 0$. Невозможно чтобы он был равен нулю "приближённо".

Однако, конечно, допустим следующий способ. Сначала выписываются какие-то другие общековариантные уравнения вместо общековариантных уравнений ОТО. Эти другие общековариантные уравнения в каком-то смысле объявляются "приближением" к ОТО. Далее берётся точное решение этих других общековариантных уравнений. Вот с ним произвольные преобразования координат делать можно.

piksel в сообщении #1369114 писал(а):

Условия, которые вы задали: $\rho=0, \; \varphi = 0, \; z = z_0(t)$, не имеют смысла, поскольку дают сингулярность:$ds^2 = c^2 dt^2 - \frac {A^2}{\rho^{1/2}}dt^2.$

Так это и есть координаты движущейся сингулярности. Аналогично в метрике Шварцшильда $r=0$, $\theta=0$, $\varphi=0$.

[Munin]

Опять странные фантазии.

[piksel]

schekn в сообщении #1369127 писал(а):

piksel
создается впечатления, что вы записали 2 метрики в разных системах отсчета, когда ось движется в одну сторону, а потом в противоположную. Нельзя складывать метрические части $h$, выделенные на фоне Минковского в разных системах отсчета. Если же это у вас 2 метрики в одной СО, то требуются пояснения, почему так. У вас их нет. И тогда перекрестные члены взаимно уничтожаются. Но наверное в слабых полях это верно.

Система отсчета, в которой рассматривается суммарная гравитация двух тел здесь одна $K'$. Тела движутся в противоположных направлениях со скоростями $v$ и $-v$. Системы координат, в которых их гравитация описывается приближенной метрикой Шварцшильда, различны, назовем их $K^+$ и $K^-$ ($K=(ct,x_{}^{2} ,x_{}^{3} ,x_{}^{4} )$). Преобразованиями Лоренца при $v$ и $-v$ метрики приводятся к общей системе отсчета $K'$.

Guvertod в сообщении #1369134 писал(а):

Для "активной" - вы перешли в слабое приближение и поменяли СК с помощью ПЛ, а дальше - что-то логику не понял. Как у вас относительно движутся частица и источник, почему какая-то скорость не меняется?

В системе отсчета $K'$ частица неподвижна, а источники движутся. Условие для скорости

piksel в сообщении #1354576 писал(а):

$\alpha /r<<V^{2} /c^{2},$

используемое при получении пассивной массы, предполагается и при рассмотрении активной. Это оставляет скорость источников гравитации приближенно постоянными и обусловлено тем, что в ОТО сумма гравитационных масс тел, разнесенных на большое расстояние, не совпадает с гравитационной массой системы, состоящей из этих тел в более локальной области. Возможно, оно лишнее. Кажется, и у Muninа в этой области было недопонимание.

SergeyGubanov в сообщении #1369158 писал(а):

piksel в сообщении #1369114 писал(а):

Почему нельзя?

Привилегия делать какие угодно преобразования координат утрачивается мгновенно как только вместо точного решения общековариантных уравнений берётся нечто "приближённое" и никаким общековариантным уравнениям не удовлетворяющее. Общая ковариантность является дискретной характеристикой, у неё нет параметра малости. В данном случае рассматривается вакуумное решение общековариантных уравнений ОТО и тензор Риччи должен быть равен нулю точно $R_{\mu \nu} = 0$. Невозможно чтобы он был равен нулю "приближённо".

Однако, конечно, допустим следующий способ. Сначала выписываются какие-то другие общековариантные уравнения вместо общековариантных уравнений ОТО. Эти другие общековариантные уравнения в каком-то смысле объявляются "приближением" к ОТО. Далее берётся точное решение этих других общековариантных уравнений. Вот с ним произвольные преобразования координат делать можно.

В принципе это подразумевается. Используемая приближенная метрика Шварцшильда в прямоугольных координатах хорошо известна, см., например, Мак-Витти.

[SergeyGubanov]

piksel, сделать преобразование координат в точной метрике технически не сложнее чем в испорченной. Зачем для буста Вы выбрали испорченную метрику вместо точной?

А ещё, логичнее бустить чёрную (белую) дыру в метрике Пэнлеве чем в метрике Шварцшильда:

$$ ds^2 = dt^2 - \left( dx - V^x dt \right)^2 - \left( dy - V^y dt \right)^2 - \left( dz - V^z dt \right)^2 $$

$$ V^{i} = \pm \frac{x^i}{r} \sqrt{\frac{2 k M}{r}} $$

У Пэнлеве трёхмерные листы $t=\operatorname{const}$ плоские, а у Шварцшильда трёхмерные листы $t=\operatorname{const}$ искривлённые. Бустить искривлённый лист пространственного распределения константным преобразованием Лоренца является операцией не имеющей физического смысла, это вроде должно быть очевидно.

Munin в сообщении #1369160 писал(а):

Опять странные фантазии.

Я про то, что приближённых вакуумных решений не бывает:

$$ R_{\mu \nu} \approx 0 \qquad \to \qquad 1 \approx 0 $$

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1369368 писал(а):

А ещё, логичнее бустить чёрную (белую) дыру в метрике Пэнлеве чем в метрике Шварцшильда:

И что у вас получится, если вы рассмотрите задачу ТС в координатах Пенлеве в слабых полях приближенно (черных дыр нет, просто 2 массивных тела)?

[SergeyGubanov]

schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

[schekn]

SergeyGubanov в сообщении #1369405 писал(а):

schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

А зачем? Приближенная теория в принципе нековариантная.

[Geen]

schekn в сообщении #1369431 писал(а):

SergeyGubanov в сообщении #1369405 писал(а):

schekn, с учётом того, что приближённых вакуумных решений $1 \approx 0$ не бывает в принципе, мне не понятно что в вашем случае значит фраза "в слабых полях приближенно".

Сначала надо для этих "слабых полей" сформулировать какую-то общековариантную теорию "слабой гравитации", а потом найти точное решение уравнений этой "приближённой" теории.

А зачем? Приближенная теория в принципе нековариантная.

Тогда необходимо обосновывать "применимость" преобразований Лоренца.