Подход
warlock66613 правильный. Можно записать классический гамильтониан в виде

, здесь обобщённая координата

это длина дуги с учетом знака,

соответствующий обобщенный импульс. Далее
![$[\hat{s},\hat{p}_s]=i \hbar$ $[\hat{s},\hat{p}_s]=i \hbar$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/1/d0178b166223ef1eb1b32b671959465e82.png)
, откуда

. Справедливости ради замечу, что

в элементарных функциях не выражается. В связи с чем разумно поступить иначе: в силу симметрии задачи, гамильтониан будет выглядит наиболее просто в параболических координатах. Начнём с квантового гамильтониана для двумерного движения частицы массы

в потенциале

, т.е.

. В нашем случае, благодаря наличию связи

, функция

устроена следующим образом: всюду вне параболы она равна бесконечности, а для точек лежащих на параболе она принимает значение

. Вообще говоря, в таком подходе есть подвох: если рассматривать вышеописанный потенциал как предел все более локализованного потенциала в окрестности параболы, то получим, что энергия частицы будет бесконечная даже в основном состоянии. Но это дело легко поправить - нужно полностью исключить динамику в вырожденном направлении, так мы "перенормируем" энергетический спектр частицы. Делаем замену

, уравнение параболы принимает вид

, это нужно для того, чтобы одна из новых координат принимала постоянное значение. Действительно, смотрим
Параболические координаты и видим, что для нашей параболы

. По той же ссылке смотрим формулу для лапласиана и, учитывая отсутствие динамики по

, записываем гамильтониан
