интеграл

[ewert]

Такая вот простенькая, но симпатичная задачка: вычислить при всех $\beta$

$$ \int\limits_{0}^{\infty} {1-x^{\beta}\over(1+x^{\beta})(1+x^2)}\;dx\;. $$

[Cave]

Ответ: 0.
Решение: замена x = 1/t переводит интеграл в себя с противоположным знаком.

ewert,
касательно Вашей задачи про ряд: http://dxdy.ru/post135244.html#135244.
Фактически, под пределом написано определение полилогарифма (точнее - $Li_{1/2}(1-x) / \sqrt x$), нужно найти его поведение в окрестности единицы.
Я сжульничал и посмотрел его разложение в справочнике, ответ получается $\sqrt\pi$, но, видимо, Вы подразумеваете, что это можно получить проще. Как-то сразу из определения нужно действовать или всё-таки можно задействовать какие-нибудь свойства специальных функций?

[ewert]

Cave писал(а):

Решение:

Мне, кстати, этот вариант решения почему-то пришёл в голову только сегодня, когда я набивал условие. А раньше возникало желание доказывать, что интеграл до единицы равен минус интегралу после (той же заменой, конечно).

Цитата:

касательно Вашей задачи про ряд: http://dxdy.ru/post135244.html#135244.
Фактически, под пределом написано определение полилогарифма (точнее - $Li_{1/2}(1-x) / \sqrt x$), нужно найти его поведение в окрестности единицы.
Я сжульничал и посмотрел его разложение в справочнике, ответ получается $\sqrt\pi$, но, видимо, Вы подразумеваете, что это можно получить проще. Как-то сразу из определения нужно действовать или всё-таки можно задействовать какие-нибудь свойства специальных функций?

И что это всех так тянет на полилогарифмы, это неспортивно.

Нет, конечно. Я ведь сразу сказал, что решать надо буквально так же, как и задачу Коровьева. Разве что интеграл и нахождение пределов чуть сложнее, но не намного. А ответ -- да, правильный.