2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Интегральная сумма
Сообщение10.11.2018, 16:00 


23/11/09
148
Докажите, что $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sin(\frac{i\pi}{n})}\frac{\pi}{n}=2\ln(n)+O(1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение11.11.2018, 03:46 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
Применяя формулу Эйлера-Маклорена, получим
$$\sum\limits_{k = 1}^{n - 1} {{\pi  \over n}{1 \over {\sin ({{\pi k} \over n})}}}  =  - 2\ln ({\mathop{\rm tg}\nolimits} ({\pi  \over {2n}})) + {\pi  \over n}{1 \over {\sin ({\pi  \over n})}} + \sum\limits_{j = 1}^{ + \infty } {{R_j}} $$
причём остаточный член имеет константное поведение на бесконечности (по $n$)
$${R_j} \sim {{{\rm{ctg(}}{\pi  \over n})\sum\limits_k {\cos ({{\pi k} \over n})} } \over {{{\sin }^{2j-1}}({\pi  \over n}) \cdot {n^{2j}}}} \sim O(1)$$
Откуда получаем требуемое

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение11.11.2018, 14:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1147
Антарктика
Обозначим $f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sin\frac{\pi x}{n}}$ и рассмотрим величину $$\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(k)-\int\limits_{1}^{n-1}f(x)dx=\sum\limits_{k=1}^{n-2}\int\limits_{k}^{k+1}(f(k)-f(x))dx+f(n-1)=f(n-1)+\sum\limits_{k=1}^{n-2}\int\limits_{k}^{k+1}(x-k-1)f'(x)dx$$

Оценим $$\left\lvert\sum\limits_{k=1}^{n-2}\int\limits_{k}^{k+1}(x-k-1)f'(x)dx\right\rvert\leqslant\sum\limits_{k=1}^{n-2}\int\limits_{k}^{k+1}\left\lvert f'(x)\right\rvert dx\leqslant\frac{\pi}{n}\int\limits_{1}^{n-1}\frac{1}{\sin^2\frac{\pi x}{n}}dx=2\ctg\frac{\pi}{n}$$

Поскольку $f(n-1)=\displaystyle\frac{1}{\sin\frac{\pi}{n}}$, то $$\frac{\pi}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(k)=\frac{\pi}{n}\int\limits_{1}^{n-1}f(x)dx+O(1)=-2\ln\tg\frac{\pi}{2n}+O(1)=2\ln n + O(1)$$

Наверное, это у меня как раз и получился частный случай формулы Эйлера-Маклорена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение12.11.2018, 01:42 


23/11/09
148
thething Любопытное применение интегрирования по частям с последующей оценкой производной.
Ms-dos4 Получилось слишком просто, но это исправимо. Здесь уже придется поломать голову:
Докажите, что $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sin(\frac{i\pi}{n})}\frac{\pi}{n}=2\ln(n)+C+O(1/n)$. Где С некоторая константа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение12.11.2018, 04:10 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
deep blue
Попробуем. Поступаем также как раньше.

Как было сказано ранее, имеет вид $$\sum\limits_{k = 1}^{ n-1 } {{\pi  \over n}{1 \over {\sin ({{\pi k} \over n})}}}  =  - 2\ln ({\mathop{\rm tg}\nolimits} ({\pi  \over {2n}})) + {\pi  \over n}{1 \over {\sin ({\pi  \over n})}} + R$$
где остаточный член имеет вид
$${R_j} = {{{B_{2j}}} \over {(2j)!}}{{{\pi ^{2j}}{\mathop{\rm ctg}\nolimits} ({\pi  \over n})\sum\limits_{k = 0}^{\left\lfloor {{{2j - 1} \over 2}} \right\rfloor } {{a_k}\cos ({{2k\pi } \over n})} } \over {{{\cos }^{2j - 1}}({\pi  \over n}){n^{2j}}}}$$
С первого взгляда $${R_j} = {{{B_{2j}}} \over {(2j)!}}[\sum\limits_{k = 0}^{\left\lfloor {{{2j - 1} \over 2}} \right\rfloor } {{a_k}}  + O({n^{-2}})]$$ однако вообще говоря, этот асимптотически разложенный ряд бесполезен, ввиду того, что ${a_k}$ таковы, что
$$\sum\limits_{k = 0}^{\left\lfloor {{{2j - 1} \over 2}} \right\rfloor } {{a_k}}  = (2j - 1)!$$ и, более того
$${R_j} = {{{B_{2j}}} \over {2j}} + O({n^{-2j}})$$
Можно поступить по другому - взять только первый член суммы ${R_1}$, а остальное оценить
$$\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {{R_j}}  < {{2\zeta (2)} \over {{{(2\pi )}^2}}}\int\limits_1^{n - 1} {\left| {f''(x)} \right|dx}  = {{{\pi ^2}} \over {24{n^2}}}[{1 \over {{{\sin }^2}({\pi  \over {2n}})}} - {1 \over {{{\cos }^2}({\pi  \over {2n}})}}]$$
что при больших $n$ даёт $$\sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {{R_j}}  < {1 \over 6} + O({n^{ - 2}})$$
Раскладывая ${R_1} = {1 \over {12}} + O({n^{ - 2}})$ и основные члены $2\ln n + \ln ({{4e} \over {{\pi ^2}}}) + O({n^{ - 4}})$ окончательно имеем
$$\sum\limits_{k = 1}^{ n-1 } {{\pi  \over n}{1 \over {\sin ({{\pi k} \over n})}}}  = 2\ln n + C + O({n^{ - 2}})$$
Причём $$C = \ln ({{4e} \over {{\pi ^2}}}) + {1 \over {12}} + \delta $$ где $\delta  < {1 \over 6}$
P.S.Надеюсь в расчётах нигде не ошибся, но в отличие от вашего ответа, у меня слагаемых порядка $O({n^{ - 1}})$ не встретилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение12.11.2018, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1147
Антарктика
deep blue в сообщении #1353436 писал(а):
Докажите, что $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sin(\frac{i\pi}{n})}\frac{\pi}{n}=2\ln(n)+C+O(1/n)$. Где С некоторая константа.

На этот раз рассмотрим такое приближение (интегрируем по частям дважды, все внеинтегральные члены сокращаются):
$$\left\lvert \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{n-\frac{1}{2}}f(x)dx\right\rvert\leqslant\frac{1}{8}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{n-\frac{1}{2}}\left\lvert f''(x)\right\rvert dx\leqslant\frac{\pi^2}{8n^2}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{n-\frac{1}{2}}\left(\frac{2}{\sin^3\frac{\pi x}{n}}+\frac{1}{\sin\frac{\pi x}{n}}\right)dx=$$
$$=\frac{\pi}{16n}\left(\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4n}}-\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4n}}-8\ln\tg\frac{\pi}{4n}\right)$$

Отсюда получаем требуемое, у меня вышло $o\left(\frac{1}{n}\right)$, что есть и $O\left(\frac{1}{n}\right)$. Мог ошибиться при вычислениях в константах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение12.11.2018, 23:33 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
thething
А почему $O({n^{ - 1}})$, если ваше последнее выражение (после умножения на $\pi {n^{ - 1}}$) даёт $1 + O({n^{ - 2}})$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1147
Антарктика
Ms-dos4
Я рассуждал через о-малые, видимо, стараясь подвести под ответ (а ещё -- мне всегда больше нравились о-малые). Первое слагаемое -- после разложения $\sin \frac{\pi}{4n}=\frac{\pi}{4n}+o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ и последующего разложения минус второй степени дает $o\left(\frac{1}{n}\right)$. Второе и третье тоже превратил в о-малые. Хотя, естественно, всё выражается и через $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Будет интересно узнать у автора темы его способ решения, почему он написал именно $O\left(\frac{1}{n}\right)$.

-- 13.11.2018, 06:04 --

Хотя нет.. Последнее слагаемое у меня не представляется в виде $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 11:49 


23/11/09
148
thething Что-то не пойму у вас абсолютная погрешность представления суммы интегралом получилась $$\frac{\pi}{16n}\left(\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4n}}-\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4n}}-8\ln\tg\frac{\pi}{4n}\right)$$что стремится к бесконечности.

Или там опечатка и должно быть $$\frac{\pi^2}{16n^2}\left(\frac{1}{\sin^2\frac{\pi}{4n}}-\frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4n}}-8\ln\tg\frac{\pi}{4n}\right)$$
но тогда она стремится к единице. Пусть она вообще всегда равна единице. Что это нам дает? Мы же не в праве вычитать единицу из интеграла и приравнивать к сумме.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 12:24 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
deep blue
Там до этого была вынесена $\pi {n^{ - 1}}$

thething
Разве у вас
$${{{\pi ^2}} \over {16{n^2}}}({1 \over {{{\sin }^2}{\pi  \over {4n}}}} - {1 \over {{{\cos }^2}{\pi  \over {4n}}}} - 8\ln {\mathop{\rm tg}\nolimits} {\pi  \over {4n}}) = 1 - {{{\pi ^2}} \over 2}[{1 \over {12}} + \ln ({\pi  \over {4n}})]{n^{ - 2}} + O({n^{-4}})$$ не даёт $1 + O({n^{ - 2}})$? (Логарифм то забивается).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 13:32 


23/11/09
148
Ms-dos4 Хорошо,
$$\frac{\pi}{n}\left\lvert \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)-\int\limits_{\frac{1}{2}}^{n-\frac{1}{2}}f(x)dx\right\rvert\leqslant 1 + O({n^{ - 2}})$$
Дальше то что?
Нельзя же утверждать что $$\frac{\pi}{n}\sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)= \frac{\pi}{n}\int\limits_{\frac{1}{2}}^{n-\frac{1}{2}}f(x)dx - 1 + O({n^{ - 2}})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 17:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1147
Антарктика
deep blue в сообщении #1353727 писал(а):
Дальше то что?

Да, надо будет дообосновать.
Ms-dos4 в сообщении #1353720 писал(а):
Логарифм то забивается

Не понял, как забивается? Величина $\frac{\ln n}{n^2}$ не является $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, но является $o\left(\frac{1}{n}\right)$, или, соответственно, $O\left(\frac{1}{n}\right)$.

-- 13.11.2018, 20:04 --

Ms-dos4
Скажите, а куда при Вашем вычислении интеграла подевался логарифм? Насколько я понял у нас с Вами там вторая производная одна и та же и оценки примерно одинаковы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 18:07 


23/11/09
148
thething в сообщении #1353764 писал(а):
Да, надо будет дообосновать.
Я сомневаюсь что прямое применение метода трапеций, которое вы делаете способно привести к правильному ответу в этой нетривиальной задаче. Но попробуйте дообоснуйте, желательно с явным выписыванием константы С как это сделал Ms-dos4, чтобы было легко проверить правильность решения

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1147
Антарктика
deep blue
Хм, по-прежнему буду рад увидеть и Ваш вариант решения))

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение13.11.2018, 21:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
thething
Да, тут ясно, спасибо

Теперь по поводу моих вычислений - ну проинтегрировал вроде бы верно, у меня логарифма не возникает (модуль убираем т.к. функция неотрицательна на этом промежутке)
$${{{\pi ^3}} \over {2{n^3}}}\int\limits_1^{n - 1} {{{3 + \cos ({{2\pi x} \over n})} \over {{{\sin }^3}({{\pi x} \over n})}}dx}  = \left. {{{{\pi ^3}} \over {4{n^3}}}({1 \over {{{\cos }^2}({{\pi x} \over {2n}})}} - {1 \over {{{\sin }^2}({{\pi x} \over {2n}})}})} \right|_1^{n - 1} = {{{\pi ^2}} \over {2{n^2}}}({1 \over {{{\sin }^2}({\pi  \over {2n}})}} - {1 \over {{{\cos }^2}({\pi  \over {2n}})}})$$
Далее умножаем на константы в оценке и раскладываем

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group