2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 02:22 
Заслуженный участник


18/01/15
1142
(удалено)

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 03:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1171
Антарктика
Ms-dos4 в сообщении #1353806 писал(а):
проинтегрировал вроде бы верно

Ясно, а я просто все косинусы выкинул, вот и получилась более слабая оценка. Но по итогу у Вас же там тоже для остаточного члена получилась оценка сверху с константой (только $\frac{1}{6}$ вместо моей $1$)? Т.е., как я понимаю, писать уже в итоговом равенстве надо не $\delta$, а $\delta_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 10:57 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
thething
Да, я просто все величины связанные с $n$ утянул в О. Кстати, по итогу вычислений, оценка подтверждается с $\delta  \approx 0,07$ (можно и точнее, конечно, привести).
P.S. Если кто-то захочет численно смотреть - стройте поточечный график, т.к. в нецелых точках ($n$) функция с приближением сильно расходится (и вообще скачет), что может обмануть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 12:48 


23/11/09
148
Ms-dos4 в сообщении #1353451 писал(а):
в отличие от вашего ответа, у меня слагаемых порядка $O({n^{ - 1}})$ не встретилось.
Все таки там должно быть слагаемое $O(n^{-1})$ как следует из статьи доктора Ватсона
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 21:44 
Заслуженный участник


25/02/08
2932
deep blue
А ничего, что у вас этот ряд умножен на ${\pi  \over n}$ и из за этого в ряду первое слагаемое будет пропорционально обратному квадрату (ну и соотв. сокращаются в множителях основных слагаемых). Так что я там первых обратных степеней не наблюдаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение14.11.2018, 21:50 


23/11/09
148
Ms-dos4
А ну да, извиняюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегральная сумма
Сообщение15.11.2018, 16:32 


23/11/09
148
thething в сообщении #1353770 писал(а):
deep blue
Хм, по-прежнему буду рад увидеть и Ваш вариант решения))
Я не выношу из суммы $\frac{\pi}{n}$ потому что интегрирую на отрезке $[\frac{1}{n},\pi]$ а не $[1,n]$. Хотя это не играет никакой роли.
Вместо исходной суммы будем рассматривать уполовиненную сумму $ \sum\limits_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} \frac{\pi}{\sin(\frac{i\pi}{n})}\frac{\pi}{n}$ (n-нечетное). Это не влияет на результат, но окажется удобнее при вычислениях.
Попытка сразу применить метод трапеций не дает результата, потому что погрешность замены суммы интегралом оказывается равна:
$$ \left\lvert \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} f(k) \frac{\pi}{n}-\int\limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx \right\rvert \leqslant\frac{\pi^2}{8\cdot2^2n^2}\int\limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{\pi}{2}} \left\lvert f''(x)\right\rvert dx=O(1)$$ Она даже не стремится к нулю. А нам нужна погрешность порядка $O(n^{-2})$

Олимпиадная идея в том чтобы вычесть из $f(x)$ её главную часть $\frac{1}{x}$ и уже оставшуюся мизерную разность оценить интегралом, погрешность такой оценки будет тем более мизерной.
$$\left\lvert \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (f(k) - H_k \frac{n}{\pi} ) \frac{\pi}{n}-\int\limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{\pi}{2}}(f(x)-\frac{1}{x})dx \right\rvert \leqslant\frac{\pi^2}{8\cdot2^2n^2}\int\limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{\pi}{2}}\left\lvert f''(x) - \frac{2}{x^3}\right\rvert dx=O(n^{-2})$$

В итоге
$ \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} f(k)  \frac{\pi}{n} = H_{\frac{n-1}{2}} + \sum\limits_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} (f(k) - H_k \frac{n}{\pi} ) \frac{\pi}{n} = \ln(\frac{n-1}{2}) + \gamma + \frac{1}{n-1}+O(n^{-2}) + \int\limits_{\frac{1}{n}}^{\frac{\pi}{2}}\left f(x) - \frac{1}{x}\right dx = \ln(2n) + \gamma - \ln(\pi) + O(n^{-2})$

thething Раньше я писал что оценка $O(n^{-1})$ потому что оценивал погрешность более грубо по методу прямоугольников. Кстати когда вы оценивали погрешность вы смещали интервал интегрирования $[1,n]$ на 1/2 чтобы работала формула для метода средних прямоугольников. На самом деле можно не смещать этот интервал и будет верна точно такая же формула оценки погрешности уже для метода трапеций.

Ms-dos4

(Вот здесь)

Изображение
приводится решение через формулу Эйлера-Маклорена. Но там она применяется к модифицированной функции $\frac{1}{\sin(x)}-\frac{1}{x}$. Интересно в чем разница между этими решениями.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group