Атом излучает непрерывный спектр. ФЛФ. Задача 31-4 (c).

[Uchitel'_istorii]

Условие и ответ английские:

PNG. писал(а):

It was deduced that the instantaneous energy flux of a wave is $S = \epsilon _0 c E^2$ watts per square meter:
a) Find the total rate at which energy is radiated by an electron which is oscillating with amplitude $x_0$ and angular frequency $\omega$.
b) Compare the energy radiated per cycle with the stored energy $\tfrac{1}{2} m\omega^2 x_0 ^2 $ , and thus find the damping constant $\gamma _R$ . This process is called radiation damping.
c) An excited atom gives out radiation having a certain wavelength $\lambda$. Calculate theoretically the expected breadth $\Delta \lambda$ of the spectral line, if the breadth arises solely from radiation damping. (Think of the atom as being a tiny damped oscillator having a large $Q$.)

Условие и решение МИФИ:

PNG писал(а):

31. 4. Известно, что мгновенная плотность потока энергии электромагнитной волны равна $S = \epsilon _0 c E^2$.
а) Найдите полную энергию, излучаемую в единицу времени электроном, осциллирующим с амплитудой $x_0$ и угловой частотой $\omega$.
б) Сравните энергию, излучаемую за одно колебание, с запасенной энергией $\tfrac{1}{2} m\omega^2 x_0 ^2 $ и найдите константу затухания $\gamma _R$. Это затухание называется радиационным затуханием.
в) Возбужденный атом испускает фотоны с определенной длиной волны $\lambda$. Рассчитайте ожидаемое уширение $\Delta \lambda$ спектральной линии, если оно возникает исключительно из-за радиационного затухания. (Рассматривайте атом как крошечный осциллятор, обладающий затуханием.)

Интересует вопрос c).
В решебнике они дифференцированием $\lambda = \tfrac{2\pi c}{\omega}$ получают формулу $|\Delta\lambda| = \tfrac{2\pi c |\Delta\omega|}{\omega^2} $, далее используют $\Delta\omega = \gamma_R$.

Из уравнения (29.3) мы знаем , что поле $E$ пропорционально ускорению $a$ , а ускорение $a$ пропорционально смещению $x$. Смещение при вынужденных колебаниях определяется по формуле (23.10) :
$x=\rho F_0\cos\,(\omega t+\arctg(-\tfrac{\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2}))$;
$\rho^2&=\frac{1}{m^2[(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2]}$;
$m$ -- масса осциллятора,
$\omega$ -- частота вынужденных колебаний,
$\omega_0$ -- частота собственных колебаний,
$\gamma$ -- коэффициент затухания,
$F_0$ -- амплитуда возбуждающей силы.

Мощность излучения $S$ пропорциональна $E^2$, следовательно $S \sim \rho^2$.

В лекции 23 есть график $\rho^2$ от $\omega$ 23-2, а также в тексте сказано, что ширина графика на половине высоты составляет $\Delta\omega = \gamma$.

Я не вижу связи. Атом будет создавать максимальное поле в экваториальной плоскости . При смещении к полюсам поле будет убывать $\sim\sin\theta$ (для экваториальной плоскости $\sin\theta = 1$ ). И всё это излучение должно быть одной частоты, а не диапазона частот . Почему Фейнман и МИФИ решили, что частота будет меняться в пределах $\omega_0 \pm \tfrac{\gamma}{2}$?

[Pphantom]

Uchitel'_istorii в сообщении #1352878 писал(а):

В решебнике они диференцированием $\lambda = \tfrac{2\pi c}{\omega}$ получают формулу $\Delta\lambda = \tfrac{2\pi c \Delta\omega}{\omega} = \tfrac{2\pi c \gamma_R}{\omega} $.

Либо там опечатка, либо вы что-то перепутали. Дифференцированием это не получить, да и результат очевидно неверен как минимум из соображений размерности.

[Uchitel'_istorii]

Поправил.

[se-sss]

Так выводится формула $32.13$ в лекциях. Это последний абзац в $32-3$
И там тоже этот переход не разъясняется: получили ширину резонансной кривой и сразу говорится, что это ширина спектральной линии излучения.
Вот то, что это ширина темной линии при поглощении - это совершенно мне очевидно.
То, что ширина темной части при поглощении равна ширине при излучении не самоочевидно, как мне кажется.

[Uchitel'_istorii]

Да, уже не первый раз Фейнман дает задачу на опережение. Резон есть. Атом переизлучает поле, которое на него воздействовало. Если атом облучается одной частотой, то и в спектре излучения будет одна частота.

[se-sss]

Uchitel'_istorii в сообщении #1353009 писал(а):

Если атом облучается одной частотой, то и в спектре излучения будет одна частота.

Я тоже думаю, что тут есть некоторый разрыв в логике изложения. Указанный абзац в $32-3$ стоило бы как-то по другому написать.
Если найдётся кто-то достаточно умный, чтобы внести небольшое правильное дополнение в этот абзац, то при должной аргументации есть шанс, что его примут в текущий текст лекций.

[mihiv]

Если нет вынуждающей силы, то амплитуда колебаний осциллятора с затуханием меняется по закону: $x(t)=x_0\exp ({-\frac {\gamma }2t})\cos \omega _0t$. Это не чисто гармоническое колебание. Его можно представить в виде интеграла Фурье. Преобразование Фурье этой функции $\sim \dfrac 1{\gamma ^2+4(\omega -\omega _0)^2}$, т.е. зависимость амплитуд гармоник свободных колебаний от частоты аналогична зависимости от частоты амплитуды вынужденных колебаний.

[se-sss]

mihiv
Да, спасибо, хорошее и простое объяснение.
У Фейнмана про Фурье будет заметно позже, правда. Хотя Фейнман мог бы сказать пару слов про не чистую синусоидальнось.

[Munin]

Я не понимаю, почему у этой темы такое антинаучное название? Атом не излучает непрерывный спектр! Уширенная спектральная линия - это не непрерывный спектр.