Иррациональное уравнение

[sinx]

Из укр. ЕГЭ 2019:

$\sqrt{x^2 -8x + 25} + \sqrt{x^2 - 8x + 20} = -x^2 + 8x - 11$

Очевидная замена:

$u =x^2-8x$

Тогда получаем:

$\sqrt{u+25} + \sqrt{u+20} = -u-11$

Упростим еще больше:

$u + 20 = \tau$

Тогда получаем:

$u+25 = \tau + 5$

$ -u - 11 = 9 - \tau$

Тогда уравнение сводится к:

$\sqrt{\tau + 5} + \sqrt{\tau} = 9 - \tau$

А теперь вопрос, как это решить алгебраически?
Подбором очень легко, смотрите $\tau \in [0;9]$ ибо если тау меньше нуля, то получается не очень
а если тау больше 9, то $9 - \tau < 0$, что противоречит свойствам квадратных корней
Ну и если минутку разобраться, то можно увидеть что подходит $\tau = 4$
Или графически, решение можно увидеть построив графики

$f(\tau) = 9 - \tau$ и $\varphi(\tau) = \sqrt{\tau + 5} + \sqrt{\tau}$

И найти точку пересечения $L(4;5)$

Но что если бы была дробь, подобрать было бы очень сложно, а построить идеальные графики на экзамене без линейки невозможно

Так вот, как решить алгебраически? Если возводить в квадрат, то нужно 2 раза, а 2 раза возвести в квадрат получится 4 степень, еще не научился решать уравнение 4 степени

[Vince Diesel]

Почему бы в данной задаче и не подбором? Не знаю, что закладывали составители ЕГЭ, но возможно, такое решение и предполагалось, как вариант. Одна функция возрастает, а другая убывает, значит, корней не больше одного. Если он предъявлен, то это полное решение.

[sinx]

Vince Diesel в сообщении #1353403 писал(а):

Почему бы в данной задаче и не подбором? Не знаю, что закладывали составители ЕГЭ, но возможно, такое решение и предполагалось, как вариант. Одна функция возрастает, а другая убывает, значит, корней не больше одного. Если он предъявлен, то это полное решение.

Разве нельзя решать как то уравнения по типу $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$ ? Кроме возведения в квадрат

[grizzly]

sinx в сообщении #1353398 писал(а):

Очевидная замена:

$u =x^2-8x$

Не знаю, как учат в школе, но мне сразу хочется выделить полный квадрат в замене: $u^2=x^2-8x+16$. Тогда получается:

$\sqrt{u^2+9} + \sqrt{u^2+4} = -u^2+5$

Левая часть (нестрого) больше 5, а правая -- (нестрого) меньше. Дальше понятно.

Если знать ответ, выглядит читерством, но мне и правда сразу пришло в голову выделять в замене полный квадрат.

[sinx]

grizzly в сообщении #1353408 писал(а):

sinx в сообщении #1353398 писал(а):

Очевидная замена:

$u =x^2-8x$

Не знаю, как учат в школе, но мне сразу хочется выделить полный квадрат в замене: $u^2=x^2-8x+16$. Тогда получается:

$\sqrt{u^2+9} + \sqrt{u^2+4} = -u^2+5$

Левая часть (нестрого) больше 5, а правая -- (нестрого) меньше. Дальше понятно.

Если знать ответ, выглядит читерством, но мне и правда сразу пришло в голову выделять в замене полный квадрат.

Автор книги тоже так же решил
Но опять же, нету какого то способа решать уравнения по типу $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$? Кроме подбора и возведения в степень 1000 раз

[grizzly]

sinx в сообщении #1353410 писал(а):

Но опять же, нету какого то способа решать уравнения по типу $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$? Кроме подбора и возведения в степень 1000 раз

Что-то типа такого:

$$\sqrt{\sin(x)+1}+\sqrt{e^{-x}+1}=\ln(x)? $$

Вряд ли здесь достаточно будет 1000 раз возвести в степень. Но вместо подбора можно использовать универсальные численные методы.

[provincialka]

sinx в сообщении #1353410 писал(а):

нету какого то способа решать уравнения по типу $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$?

Вообще решаемые уравнения -- очень-очень редкий тип уравнений. Их надо заботливо подбирать (причем обычно "с конца", от метода решения). А в такой общности, как у вас -- не может быть рекомендаций. Что такое $f$, $g$ и $h$? Многочлены? Рациональные выражения? Тригонометрические?

Думаю, для школьных уравнений общее правило такое. Если не удается свести уравнение к какому-то стандартному, надо использовать "трюки":
1) изучение области определения. Может, она и состоит-то из конечного числа точек?
2) приравнивание возрастающей и убывающей функций, что гарантирует единственность корня
3) оценки максимума и минимума входящих в уравнение выражений.

Оба последних метода вам предложили для этой задачи.

Собственно, при скудости других, чисто алгоритмических, методов решения, их и "трюками"-то считать нельзя! Вполне добротные, честные методы.

[kotenok gav]

sinx в сообщении #1353410 писал(а):

Но опять же, нету какого то способа решать уравнения по типу $\sqrt{f(x)} + \sqrt{g(x)} = h(x)$?

$$\sqrt{f(x)}=- \sqrt{g(x)} + h(x)$$

$$f(x)=g(x)+h^2(x)-2h(x)\sqrt{g(x)}$$

$$4h^2(x)g(x)=(g(x)+h^2(x)-f(x))^2$$

[alex55555]

sinx в сообщении #1353398 писал(а):

$\sqrt{u+25} + \sqrt{u+20} = -u-11$

Если возвести обе стороны в квадрат, то после преобразований останется единственный корень с одной стороны. Далее опять возводим в квадрат и от него избавляемся. Далее разбираемся с плюсами и минусами получившихся корней. Как-то так.

[arseniiv]

kotenok gav в сообщении #1353452 писал(а):

$$4h^2(x)g(x)=(g(x)+h^2(x)-f(x))^2$$

Ну и что с этим дальше делать. Это же не обязательно проще для исследования, чем исходные радикалы.

[mihaild]

(Оффтоп)

Еще можно сделать замену $p = \sqrt{f} + \sqrt{g} - h$ и решать совсем простое уравнение $p(x) = 0$. Не менее полезно чем большая часть преобразований уравнений, параметризованных произвольными функциями.

[marij]

Если перенести $r$ в правую часть ,получается сумма двух корней и линейной функции и является возрастающей функцией на одз ,как сумма возрастающих, которая, как известно, каждое свое значение принимает в одной точке . 9 принимает в точке $r=4.$