2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 01:51 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Ярдена перемножила два подряд идущих нечетных числа, а Тамара перемножила три подряд идущих нечетных числа. Могут ли их результаты отличаться друг от друга на 2018?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 07:14 


21/05/16
4292
Аделаида
$(2n+1)(2n+3)=4n^2+8n+3$ и $(2k+1)(2k+3)(2k+5)=(4k^2+8k+3)(2k+5)=8k^3+36k^2+46k+15$. Почему бы уравнению $4k^3+18k^2+23k-2n^2-4n=1003 or -1015$ не иметь решений? Но их почему-то нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 12:31 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
kotenok gav в сообщении #1352996 писал(а):
Но их почему-то нет.

Именно нет, или они пока не найдены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 15:10 


21/05/16
4292
Аделаида
Вольфрам не говорит ничего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 21:12 


11/10/18
28
Пока вижу только это:
$(2n-1)(2n+1) - (2k-1)(2k+1)(2k+3) = \pm2018$
$(4n^2-1) - (4k^2-1)(2k+3) = \pm2018 $

По $\bmod 3$ получаем:
$(-1 or 0) - (-1 \cdot 0 or 0 \cdot 2 or 0 \cdot 1) = \pm2 $,
откуда получаем $(-1 or 0)  - 0 = \pm2$
$4n^2 - 1 = 2 (\bmod 3) $, то есть $ n = 0 (\bmod 3)$, $n = 3m$

Аналогично по $\bmod 4$ получаем $k = 2l$, или
$(6n-1)(6n+1) - (4l-1)(4l+1)(4l+3) = 2018$

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 22:25 


11/10/18
28
По модулю 11 отбрасываются все! случаи, кроме $n = -1 \bmod 11, k = 7 \bmod 11$.
Тогда $36n^2 - 1 = 2 \bmod 11$, $(16l^2 - 1)(4l+3) = 7 \bmod 11$, $2018 = 5 \bmod 11$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 23:35 
Аватара пользователя


20/07/18
103

(Если кто-то захочет найти приближенные значения чисел)

Пусть $(2n-1)(2n+1)$ , $(2m-1)(2m+1)(2m+3)$ числа Ядрёны и Тамары соответственно.
И пусть $m>n$. Тогда если $n$ произвольное натуральное число, $m=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2017+4n^2}{3+\sqrt{1+\frac{2017+4n^2}{3+\sqrt{...}}}}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение10.11.2018, 23:57 


05/09/16
12115
JohnDou
Вольфрам дает "замнкутые" решения в радикалах (без бесконечных дробей).

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 01:05 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Поздно уже, мог где-то накосячить.

(Ответ)

Не могут

(Решение)

Заметим что нечетные числа могут оканчиваться только на 1,3,5,7,9.
Произведение трёх идущих подряд на 3,5,7
Двух - на 3,5,9 (проверяется в ручную).
Ясно что разность чисел из этих групп не может равняться 8.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 01:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
JohnDou в сообщении #1353193 писал(а):
Поздно уже, мог где-то накосячить.
JohnDou в сообщении #1353193 писал(а):
Ясно что разность чисел из этих групп не может равняться 8.
Утро вечера мудренее :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 01:34 
Аватара пользователя


20/07/18
103
grizzly,
3-5=8... Эх...

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 02:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
JohnDou в сообщении #1353200 писал(а):
grizzly,
3-5=8... Эх...

Цитата:
Начальный список чисел, которые могут быть значением модуля разности, достаточно "причудлив", и закономерностей там не просматривается:

0, 6, 8, 12, 18, 20, 24, 30, 38, 42, 48, 54, 60, 62, 70, 84, 90, 102, 118, 120, ...

Как видите, там на 8 много чего оканчивается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 02:52 


11/10/18
28
А как же случай $7 - 9 = -2 = 8 \bmod 10$ ? Или проверяется только разность три числа минус два, а не обе разности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 11:29 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
leweekend в сообщении #1353215 писал(а):
Или проверяется только разность три числа минус два, а не обе разности?

Если бы было так, задача решалось бы в одну строчку даже троечником-прогульщиком.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемножение подряд идущих нечётных чисел
Сообщение11.11.2018, 12:25 
Заслуженный участник


20/08/14
11867
Россия, Москва
Ради интереса проверил меньшее из двух чисел (которое в куб возводится) до триллиона ($10^{12}$), решений не обнаружил.
Уравнение можно немного упростить:
первое число, причём чётное: $a: (a-1)(a+1) = a^2-1$
второе число: $b: (b-2)b(b+2) = b(b^2-4) = b^3-4b$
условие: $a^2-1+2018=b^3-4b$ или $b^3=a^2+4b+2017$
Чем это поможет не знаю, но хоть выглядит попроще.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 30 ]  На страницу 1, 2  След.

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group