Перемножение подряд идущих нечётных чисел

[Ktina]

Ярдена перемножила два подряд идущих нечетных числа, а Тамара перемножила три подряд идущих нечетных числа. Могут ли их результаты отличаться друг от друга на 2018?

[kotenok gav]

$(2n+1)(2n+3)=4n^2+8n+3$ и $(2k+1)(2k+3)(2k+5)=(4k^2+8k+3)(2k+5)=8k^3+36k^2+46k+15$. Почему бы уравнению $4k^3+18k^2+23k-2n^2-4n=1003 or -1015$ не иметь решений? Но их почему-то нет.

[Ktina]

kotenok gav в сообщении #1352996 писал(а):

Но их почему-то нет.

Именно нет, или они пока не найдены?

[kotenok gav]

Вольфрам не говорит ничего.

[leweekend]

Пока вижу только это:
$(2n-1)(2n+1) - (2k-1)(2k+1)(2k+3) = \pm2018$
$(4n^2-1) - (4k^2-1)(2k+3) = \pm2018 $

По $\bmod 3$ получаем:
$(-1 or 0) - (-1 \cdot 0 or 0 \cdot 2 or 0 \cdot 1) = \pm2 $,
откуда получаем $(-1 or 0) - 0 = \pm2$
$4n^2 - 1 = 2 (\bmod 3) $, то есть $ n = 0 (\bmod 3)$, $n = 3m$

Аналогично по $\bmod 4$ получаем $k = 2l$, или
$(6n-1)(6n+1) - (4l-1)(4l+1)(4l+3) = 2018$

[leweekend]

По модулю 11 отбрасываются все! случаи, кроме $n = -1 \bmod 11, k = 7 \bmod 11$.
Тогда $36n^2 - 1 = 2 \bmod 11$, $(16l^2 - 1)(4l+3) = 7 \bmod 11$, $2018 = 5 \bmod 11$.

[JohnDou]

(Если кто-то захочет найти приближенные значения чисел)

Пусть $(2n-1)(2n+1)$ , $(2m-1)(2m+1)(2m+3)$ числа Ядрёны и Тамары соответственно.
И пусть $m>n$. Тогда если $n$ произвольное натуральное число, $m=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{2017+4n^2}{3+\sqrt{1+\frac{2017+4n^2}{3+\sqrt{...}}}}}$.

[wrest]

JohnDou
Вольфрам дает "замнкутые" решения в радикалах (без бесконечных дробей).

[JohnDou]

Поздно уже, мог где-то накосячить.

(Ответ)

Не могут

(Решение)

Заметим что нечетные числа могут оканчиваться только на 1,3,5,7,9.
Произведение трёх идущих подряд на 3,5,7
Двух - на 3,5,9 (проверяется в ручную).
Ясно что разность чисел из этих групп не может равняться 8.

[grizzly]

JohnDou в сообщении #1353193 писал(а):

Поздно уже, мог где-то накосячить.

JohnDou в сообщении #1353193 писал(а):

Ясно что разность чисел из этих групп не может равняться 8.

Утро вечера мудренее :)

[JohnDou]

grizzly,
3-5=8... Эх...

[Ktina]

JohnDou в сообщении #1353200 писал(а):

grizzly,
3-5=8... Эх...

Цитата:

Начальный список чисел, которые могут быть значением модуля разности, достаточно "причудлив", и закономерностей там не просматривается:

0, 6, 8, 12, 18, 20, 24, 30, 38, 42, 48, 54, 60, 62, 70, 84, 90, 102, 118, 120, ...

Как видите, там на 8 много чего оканчивается.

[leweekend]

А как же случай $7 - 9 = -2 = 8 \bmod 10$ ? Или проверяется только разность три числа минус два, а не обе разности?

[Ktina]

leweekend в сообщении #1353215 писал(а):

Или проверяется только разность три числа минус два, а не обе разности?

Если бы было так, задача решалось бы в одну строчку даже троечником-прогульщиком.

[Dmitriy40]

Ради интереса проверил меньшее из двух чисел (которое в куб возводится) до триллиона ($10^{12}$), решений не обнаружил.
Уравнение можно немного упростить:
первое число, причём чётное: $a: (a-1)(a+1) = a^2-1$
второе число: $b: (b-2)b(b+2) = b(b^2-4) = b^3-4b$
условие: $a^2-1+2018=b^3-4b$ или $b^3=a^2+4b+2017$
Чем это поможет не знаю, но хоть выглядит попроще.