2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение08.11.2018, 23:20 


09/11/12
150
Донецк
Уважаемые коллеги ! Хотел бы услышать Ваши комментарии по поводу того, что пространство полиномов на отрезке $[a, b]$ с интегральной метрикой имеет первую категорию по Бэру. К сожалению, я не вполне понимаю, как доказать этот факт. Подскажите, пожалуйста ! И ещё один вопрос относится к тому, что я обнаружил на этот счёт в википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Категория_Бэра . Здесь написано, что "счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра" . Наверное, я просто не очень понимаю это утверждение, тем не менее, сразу виден очевидный контрпример: пространство $l_2,$ где метрика, как обычно $d(x, y)=\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|x_i-y_i|^2\right)^{1/2}.$ Общеизвестно, что это полное пространство, при этом, оно счётномерно, поскольку есть счётный базис $e_1=(1,0,\ldots),$ $e_2=(0,1,0,\ldots), \ldots  .$ Но полные пространства имеют вторую категорию по Бэру ввиду теоремы Бэра. Значит, данное пространство второй категории. Где я ошибся ? Буду благодарен за Ваше мнение !

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение08.11.2018, 23:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5262
Evgenii2012 в сообщении #1352752 писал(а):
Где я ошибся


В том, что это базис. В данном случае имеется в виду базис Гамеля.

По поводу первого утверждения: докажите, что для любого $n$ множество полиномов степени не выше $n$ является нигде не плотным множеством в пространстве, описанном в начале поста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение08.11.2018, 23:44 


09/11/12
150
Донецк
g______d, большое спасибо за Ваш ответ !
Ну да, например для многочлена $x^2$ степени не выше 2 в любой его окрестности есть многочлен $\varepsilon x^3+x^2$ степени больше 2, где $\varepsilon>0$ "настолько мало, насколько нужно" (или я ошибаюсь ?) . Насчёт базиса Гамеля, разложение должно быть в конечную сумму, а не в ряд, если, опять же, я правильно Вас понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение09.11.2018, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5262
Evgenii2012 в сообщении #1352757 писал(а):
g______d, большое спасибо за Ваш ответ !
Ну да, например для многочлена $x^2$ степени не выше 2 в любой его окрестности есть многочлен $\varepsilon x^3+x^2$ степени больше 2, где $\varepsilon>0$ "настолько мало, насколько нужно" (или я ошибаюсь ?) .


Для нигде не плотности нужно несколько больше: в любом шаре есть шар, не пересекающийся с множеством. Дальнейшее -- простое упражнение на определение множества первой категории.

Evgenii2012 в сообщении #1352757 писал(а):
Насчёт базиса Гамеля, разложение должно быть в конечную сумму, а не в ряд, если, опять же, я правильно Вас понял


То есть Вы понимаете, почему Ваше $l_2$ не является контрпримером?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение09.11.2018, 00:52 


09/11/12
150
Донецк
С $l_2$ больше никаких вопросов не возникает. По поводу полиномов, предлагаю следующую схему рассуждения. Пространство полиномов $M_n$, степени не больше $n,$ является замкнутым в произвольном шаре $B$ пространства $M$ всех полиномов, поскольку оно полно (как конечномерное пространство). Оно, в то же время, не может совпадать со всем этим шаром $B$ (можно путём подбора коэффициентов указать в $B$ полином большей степени -- так, как я это делал для $x^2$ в своём предыдущем сообщении, по тому же принципу). Значит, $B\setminus M_n$ -- непустое открытое множество. Выберем произвольно шар $B_1\subset B\setminus M_n,$ тогда $B_1$ и есть искомый шар, не пересекающийся с $M_n,$ т.е., установлено, что $M_n$ -- нигде не плотно. g______d, скажите, пожалуйста, своё мнение насчёт предлагаемой схемы

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение09.11.2018, 00:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5262
Evgenii2012 в сообщении #1352766 писал(а):
скажите, пожалуйста, своё мнение насчёт предлагаемой схемы


Всё правильно, как мне кажется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Бэра о катеогориях
Сообщение09.11.2018, 00:54 


09/11/12
150
Донецк
Большое спасибо за Ваше мнение !

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: kotenok gav


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group