Теорема Бэра о катеогориях

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги ! Хотел бы услышать Ваши комментарии по поводу того, что пространство полиномов на отрезке $[a, b]$ с интегральной метрикой имеет первую категорию по Бэру. К сожалению, я не вполне понимаю, как доказать этот факт. Подскажите, пожалуйста ! И ещё один вопрос относится к тому, что я обнаружил на этот счёт в википедии: https://ru.wikipedia.org/wiki/Категория_Бэра . Здесь написано, что "счётномерное векторное пространство во всякой векторной топологии относится к первой категории Бэра" . Наверное, я просто не очень понимаю это утверждение, тем не менее, сразу виден очевидный контрпример: пространство $l_2,$ где метрика, как обычно $d(x, y)=\left(\sum\limits_{i=1}^{\infty}|x_i-y_i|^2\right)^{1/2}.$ Общеизвестно, что это полное пространство, при этом, оно счётномерно, поскольку есть счётный базис $e_1=(1,0,\ldots),$ $e_2=(0,1,0,\ldots), \ldots .$ Но полные пространства имеют вторую категорию по Бэру ввиду теоремы Бэра. Значит, данное пространство второй категории. Где я ошибся ? Буду благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1352752 писал(а):

Где я ошибся

В том, что это базис. В данном случае имеется в виду базис Гамеля.

По поводу первого утверждения: докажите, что для любого $n$ множество полиномов степени не выше $n$ является нигде не плотным множеством в пространстве, описанном в начале поста.

[Evgenii2012]

g______d, большое спасибо за Ваш ответ !
Ну да, например для многочлена $x^2$ степени не выше 2 в любой его окрестности есть многочлен $\varepsilon x^3+x^2$ степени больше 2, где $\varepsilon>0$ "настолько мало, насколько нужно" (или я ошибаюсь ?) . Насчёт базиса Гамеля, разложение должно быть в конечную сумму, а не в ряд, если, опять же, я правильно Вас понял

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1352757 писал(а):

g______d, большое спасибо за Ваш ответ !
Ну да, например для многочлена $x^2$ степени не выше 2 в любой его окрестности есть многочлен $\varepsilon x^3+x^2$ степени больше 2, где $\varepsilon>0$ "настолько мало, насколько нужно" (или я ошибаюсь ?) .

Для нигде не плотности нужно несколько больше: в любом шаре есть шар, не пересекающийся с множеством. Дальнейшее -- простое упражнение на определение множества первой категории.

Evgenii2012 в сообщении #1352757 писал(а):

Насчёт базиса Гамеля, разложение должно быть в конечную сумму, а не в ряд, если, опять же, я правильно Вас понял

То есть Вы понимаете, почему Ваше $l_2$ не является контрпримером?

[Evgenii2012]

С $l_2$ больше никаких вопросов не возникает. По поводу полиномов, предлагаю следующую схему рассуждения. Пространство полиномов $M_n$, степени не больше $n,$ является замкнутым в произвольном шаре $B$ пространства $M$ всех полиномов, поскольку оно полно (как конечномерное пространство). Оно, в то же время, не может совпадать со всем этим шаром $B$ (можно путём подбора коэффициентов указать в $B$ полином большей степени -- так, как я это делал для $x^2$ в своём предыдущем сообщении, по тому же принципу). Значит, $B\setminus M_n$ -- непустое открытое множество. Выберем произвольно шар $B_1\subset B\setminus M_n,$ тогда $B_1$ и есть искомый шар, не пересекающийся с $M_n,$ т.е., установлено, что $M_n$ -- нигде не плотно. g______d, скажите, пожалуйста, своё мнение насчёт предлагаемой схемы

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1352766 писал(а):

скажите, пожалуйста, своё мнение насчёт предлагаемой схемы

Всё правильно, как мне кажется.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за Ваше мнение !