Точка движется на плоскости

[Paul Ivanov]

Пусть имеется следующий закон движения точки по плоскости:

$$y(t)=r_n \sin(nt+\varphi_n)+r_{n-1} \sin((n-1)t+\varphi_{n-1})+...+r_1 \sin(t+\varphi_1)+r_0 \sin(\varphi_0)$$

$$x(t)=r_n \cos(nt+\varphi_n)+r_{n-1} \cos((n-1)t+\varphi_{n-1})+...+r_1 \cos(t+\varphi_1)+r_0 \cos(\varphi_0)$$

Пусть $A=\left\lbrace 0, 1, ..., n \right\rbrace$ и тогда $\varphi_k, r_k$ - произвольные параметры, такие, что $\forall k\in A (\varphi_k\in \mathbb{R} \wedge r_k\geqslant 0)$, причём $r_n>0$
$[0;2\pi]$ - область определения обеих функций. Будем считать доказанным, что к траектории, которую описывает точка, в любом месте можно провести касательную (даже в том месте, где скорость точки равна нулю).
Выберем некоторый момент времени $t_0 \in [0;2\pi]$. Точка $(x(t_0),y(t_0))$ делит касательную к траектории в этой точке на два луча. Назовём их условно положительным и отрицательным. Нужно доказать или опровергнуть то, что при любых $t_0\in [0;2\pi]$ при достаточно малом $\Delta t>0$ одна из двух проекций точек $(x(t_0-\Delta t),y(t_0-\Delta t)),(x(t_0+\Delta t),y(t_0+\Delta t))$ на касательную ляжет на положительный луч, а другая на отрицательный. Можно заранее считать, что $\dot{x}(t_0)=0$ и $\dot{y}(t_0)=0$, так как именно в этом случае я не знаю что делать.

[DeBill]

Paul Ivanov в сообщении #1352481 писал(а):

Будем считать доказанным, что к траектории, которую описывает точка, в любом месте можно провести касательную

А как понимать это условие? Следует ли это понимать так, что, скажем, у полукубической параболы в точке "острие" касательная таки есть?
Вообще, умножая на $i$ первое уравнение, и складывая, а также полагая $Z =x+iy, z=e^{it}$, для подходящего многочлена
$P$ степени $n$ получим: $Z=P(z)$. Это значит, что траектория движения - есть образ единичной окружности (при отображении $Z=P(z)$).
Ну, тогда контрпример строится на раз: $P(z) = (z+1)^2$ - и в нуле (у траектории) как раз и будет "касп", и проекции лягут на один луч....

-- 08.11.2018, 00:59 --

Можно и больше сказать: если первая производная равна 0, а вторая - нет, то всегда будет плохо. Однако, если и первая, и вторая производные равны 0, а третья - нет - то будет хорошо... (и .т.д.)

[Paul Ivanov]

DeBill в сообщении #1352482 писал(а):

А как понимать это условие? Следует ли это понимать так, что, скажем, у полукубической параболы в точке "острие" касательная таки есть?

Да именно так и следует это понимать. Я на всякий случай проверил точное определение касательной, в вашем примере касательная у полукубической параболы в точке острия действительно есть

DeBill в сообщении #1352482 писал(а):

Ну, тогда контрпример строится на раз: $P(z) = (z+1)^2$ - и в нуле (у траектории) как раз и будет "касп", и проекции лягут на один луч

Вы, наверное, недостаточно тщательно проверили свой контрпример, так как он является не контрпримером, а наоборот - примером. Одна проекция ляжет на луч направленный вверх, а другая проекция ляжет на луч направленный вниз.

[DeBill]

Paul Ivanov в сообщении #1352504 писал(а):

он является не контрпримером, а наоборот - примером

Точно? $n=2,r_2=1,r_1=2,r_0=1,t=\pi,\varphi_j=0$
Хорошо бы - картинку нарисовать (я - не умею...)

-- 08.11.2018, 03:09 --

Кстати: это - кардиоида - посмотрите в Вики картинку; касательная - горизонтальна.

[DeBill]

Paul Ivanov в сообщении #1352504 писал(а):

Одна проекция ляжет на луч направленный вверх, а другая проекция ляжет на луч направленный вниз.

Не так: одна проекция ляжет на луч, направленный влево, и другая - на луч, направленный тоже влево..

[Paul Ivanov]

DeBill, да, вы правы, моя невнимательность, я просто был подсознательно уверен, что такого быть не может. Спасибо.