Проблема с вычислением матричного элемента

[madschumacher]

Добрый день.
Прошу прощения за беспокойство. Я тут пытаюсь вычислить один матричный элемент:
$\langle x_i | \hat{T} \hat{U}_{\Delta t}| x_j\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} dp \exp\left(\frac{ipx_i}{\hbar}\right) \underbrace{\frac{p^2}{2m}}_{\hat{T}} \underbrace{\exp\left(-\Delta t\frac{p^2}{2m\hbar}\right)}_{\hat{U}_{\Delta t}} \exp\left(-\frac{ipx_j}{\hbar}\right) $

(Оффтоп)

Очевидно, что этот интеграл имеет отношение к амплитуде из фейнмановского ядра для эволюции квантовой системы, но для эволюции во мнимом времени.

И в ходе вычислений у меня получается какая-то ерунда:
$\frac{1}{2m}\int_{-\infty}^{+\infty} \underbrace{dp}_{dP} \exp\left( -\frac{p^2}{2m\hbar} \overbrace{\left(p^2 + 2 p \underbrace{\frac{im}{\Delta t}(x_j - x_i)}_{b} + b^2 \right)}^{(p+b)^2 = P^2} + \frac{b^2}{2m\hbar} \right) \cdot \underbrace{(P^2 - 2bP + b^2)}_{p^2} $
превращается в:
$ \sqrt{2\pi} \exp\left( - \frac{m}{2\hbar \Delta t} (x_j - x_i)^2 \right) \cdot \left( \frac{\hbar}{2 \Delta t} \underbrace{-}_{\text{вот он гад!}} \frac{m}{2\Delta t^2} (x_j - x_i)^2 \right) $
И тут меня смущает знак "минус" в выражении, которое должно, по-идее быть применимым для вычисления положительно-определённого оператора кинетической энергии.
Это нормально, что он там торчит? И нельзя ли от него избавиться? Ещё отрицательных вкладов в кинетическую энергию не хватало...

[mihiv]

Чтобы уменьшить вероятность ошибок, найдите сначала $I(\alpha ,\beta )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\exp [i\beta p-\alpha p^2]dp$, тогда:

$$\int \limits _{-\infty }^{\infty }p^2\exp [i\beta p-\alpha p^2]dp=-\dfrac {\partial I}{\partial \alpha }$$

[g______d]

Тут же вроде не диагональный матричный элемент. Почему он вообще должен быть положителен?

[amon]

madschumacher в сообщении #1352155 писал(а):

этот интеграл имеет отношение к амплитуде из фейнмановского ядра для эволюции квантовой системы, но для эволюции во мнимом времени.

А какого он тогда положительным быть должен даже для диагонального элемента (хотя, для диагонального может и должен)? Математика чуть другой ответ выдает (постоянная планка у меня единица, ну не люблю я ее)

$$\frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{m (x_1-x_2)^2}{2 \Delta t}}\left(\Delta t-m (x_1-x_2)^2\right)}{m^2\left(\frac{\Delta t}{m}\right)^{5/2}}$$

[madschumacher]

mihiv, посчитал в wxMaxima.
$I(a,b)=\int \limits_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(ib p - \frac{1}{2}a p^2 \right) dp = \sqrt{\frac{2\pi}{a}} \exp\left(-\frac{b^2}{2 a}\right)$,
соответственно:
$\frac{\partial I}{\partial a} = \[\frac{\sqrt{\pi }\cdot \left( \sqrt{2}\cdot {{b}^{2}}-\sqrt{2}\cdot a\right) \cdot {{e}^{-\frac{{{b}^{2}}}{2\cdot a}}}}{2\cdot {{a}^{\frac{5}{2}}}}\]$.
Минус всё там же.

amon в сообщении #1352192 писал(а):

Математика чуть другой ответ выдает (постоянная планка у меня единица, ну не люблю я ее)

Я просто опустил размерную часть того, что исчезает при нормировке (чтобы на выходе была размерность энергии).

g______d, amon, получается в этом знаке ничего необычного?

[Gickle]

amon в сообщении #1352192 писал(а):

хотя, для диагонального может и должен

Вроде как должен, если рассматривать оператор эволюции не унитарный, а вдоль мнимого времени. Тогда и $\hat{T}$, и $\hat{U}_{\Delta t}$ эрмитовы и при этом коммутируют между собой, так что их произведение также является эрмитовым, а потому диагональный элемент должен быть неотрицательным.

[amon]

Gickle в сообщении #1352203 писал(а):

Вроде как должен

Угу.

madschumacher в сообщении #1352200 писал(а):

получается в этом знаке ничего необычного?

Получается так. Более того, если в нормальное время вернуться, то этот матричный элемент вообще комплексный получится даже для диагонального случая.

[madschumacher]

Спасибо большое Всем. Буду думать над физическим смыслом дальше...

[g______d]

Gickle в сообщении #1352203 писал(а):

Тогда и $\hat{T}$, и $\hat{U}_{\Delta t}$ эрмитовы и при этом коммутируют между собой, так что их произведение также является эрмитовым, а потому диагональный элемент должен быть неотрицательным.

Тут важна не просто эрмитовость, но ещё положительность (но она вроде есть: если $H$ эрмитов, то $e^{tH}$ при вещественном $t$ положителен).

[reterty]

Попробую и я свои "пять копеек" вставить. Уважаемый g______d абсолютно правильно заметил,
что Вы имеете дело с недиагональным матричным элементом. Начнем с того, что матричный элемент от четного (нечетного)
по отношению к операции инверсии времени оператора должен быть чисто действительным (мнимым). В случае четного
оператора знак этого чисто действительного элемента, в случае если он недиагональный, может быть выбран произвольно, поскольку в секулярное уравнение он всегда войдет в виде квадрата.
Все сказанное справедливо лишь для эрмитовых операторов.

[madschumacher]

А такой вопрос ещё.
Если смотреть на классическую формулу для действия $S=\int dt \mathscr{L}(\dot{\mathbf{x}}, \mathbf{x}, t)$, то в результате замены реального времени на мнимое ($t_\mathrm{r} \rightarrow t_\mathrm{i} = i t_\mathrm{r}$) не должна ли происходить замена также в аргументе волновой функции $\exp(\frac{iS}{\hbar})$ на её аналог $\exp(\frac{iS}{\hbar}) \rightarrow \exp(\frac{S}{\hbar})$? При расчёте знака я исходил из предположения $S = \mathbf{p}_\mathrm{r} \mathbf{x} \approx m \dot{\mathbf{x}}_\mathrm{r} \mathbf{x}$.
Тогда $\dot{\mathbf{x}}_\mathrm{r} = \frac{d\mathbf{x}}{dt_\mathrm{r}} = - i \frac{d\mathbf{x}}{dt_\mathrm{i}} = -i\dot{\mathbf{x}}_\mathrm{i}$, и импульс во мнимом времени будет $\mathbf{p}_\mathrm{i} = -i \mathbf{p}_\mathrm{r}$.

Я просто не очень хорошо разбираюсь во всей этой теме с виковским поворотом... Где я не прав?

[amon]

madschumacher в сообщении #1352907 писал(а):

в результате замены реального времени на мнимое ($t_\mathrm{r} \rightarrow t_\mathrm{i} = i t_\mathrm{r}$) не должна ли происходить замена также в аргументе волновой функции $\exp(\frac{iS}{\hbar})$

Может не на тот вопрос отвечу, но .. Смотрите, мы хотим перейти к мнимому времени. Классическое действие изменится на
$iS\to S_c=-\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{d^2x}{dt^2}+V(x)dt$
то есть кроме отмеченного Вами изменения импульса еще и потенциал знак поменяет. Тогда волновая функция будет $e^{S_c}.$ По-моему, как-то так.

[madschumacher]

amon в сообщении #1352966 писал(а):

Может не на тот вопрос отвечу, но .. Смотрите, мы хотим перейти к мнимому времени. Классическое действие изменится на

А получается, что ещё и $\exp(-\frac{\Delta t}{2m\hbar}p^2)$ (гауссиана) перейдёт в $\exp(+\frac{\Delta t}{2m\hbar}p^2)$, что даст расходящийся интеграл? Что-то я запутался...

Вообще, это нормально работать в комплексном времени с нормальными операторами (просто, чтобы я успокоился и не грузился этим)?

[amon]

madschumacher в сообщении #1353621 писал(а):

А получается, что ещё и $\exp(-\frac{\Delta t}{2m\hbar}p^2)$ (гауссиана) перейдёт в $\exp(+\frac{\Delta t}{2m\hbar}p^2)$, что даст расходящийся интеграл?

Не, с этим как раз все хорошо. Получается $e^{-\int\limits_{t_1}^{t_2}\frac{d^2x}{dt^2}+V(x)dt}$

[madschumacher]

amon в сообщении #1353624 писал(а):

Не, с этим как раз все хорошо.

Не, я не про в.ф., а про оператор эволюции. Там же вроде будет фигня?