Доказательство Последней теоремы Ферма для n=3

[glafira krinner]

Теорема Равенство $a^3 +b^3 = c^3$ не выполняется для натуральных $a, b, c$.
Доказательство проводим методом от противного:
пусть $a^3 +b^3 = c^3$, где $a, b, c$ – взаимно простые числа.
Лемма Числа $c$ - $b$, $c$ – $a$ не могут одновременно равняться единице.
Пусть число $c$ - $b$ не равно единице.
Преобразуем исходное равенство к виду
$a^3=c^3-b^3$;
$a^3 = (c - b)(( c - b)^2 + 3bc)$; (1)
$a^3 =(c - b)^3 + 3bc(c - b)$; (2)
$a^3 -(c - b)^3 = 3bc(c - b)$; (3)
$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)
Рассмотрим два случая:
1) Пусть $c - b$ не кратно $3$, $a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа.
Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)
Из равенства (4) следует, что левая часть кратна числу $c - b$ или выражение $a -(c - b)$ кратно $c - b$, откуда следует, что $a$ кратно $c - b$.
Учитывая (5), получаем, что $a $ или $a_1 a_2$ кратно $a_1^3$, что невозможно.
2) Пусть $c - b$ кратно $9, a = 3a_1 a_2$, где $ 3,a_1 ,a_2 $ взаимно простые числа.
Тогда из равенства (1) следует, что $c - b = 9a_1^3$. (6)
Из равенства (4) следует, что $a$ кратно $c - b$.
Учитывая (6), получаем, что $ a$ или $3a_1 a_2$ кратно $9a_1^3$, что невозможно.

При рассмотрении двух возможных случаев пришли к противоречию
Значит, предположение, что исходное равенство выполняется, неверно.

[Ioda]

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

$a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа.

А вдруг $a$ -- это степень простого числа ,тогда не найдется $a_1$ и $a_2$ взаимно простых таких что $a_1a_2=a$

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

$a = 3a_1 a_2$, где $ 3,a_1 ,a_2 $ взаимно простые числа.

А вдруг $a$ некратно трем. Разберитесь.

[Antoshka]

Ioda в сообщении #1351925 писал(а):

А вдруг $a$ -- это степень простого числа

Тут уже обсуждалось и показывалось с помощью формул Абеля,что $a,b,c$ не являются степенями простых чисел. Этот случай можно отбросить

[Ioda]

Antoshka в сообщении #1351928 писал(а):

Тут уже обсуждалось и показывалось с помощью формул Абеля,что $a,b,c$ не являются степенями простых чисел. Этот случай можно отбросить

Ну ок. Это не снимает второго вопроса.

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)

Объясните пожалуйста следствие . Или не может быть такого ,что не найдется у $a$ таких пар $a_1$ и $a_2$ ,что $c-b=a_1^3$ при заданных $b$ и $c$ или при заданном $a$?
Это третий вопрос.

[Antoshka]

Ioda в сообщении #1351932 писал(а):

Объясните пожалуйста следствие . Или не может быть такого ,что не найдется у $a$ таких пар $a_1$ и $a_2$ ,что $c-b=a_1^3$ при заданных $b$ и $c$ или при заданном $a$?
Это третий вопрос.

Это и есть одна из формул Абеля, которая тут тоже неоднократно упоминалась

[Ioda]

Antoshka в сообщении #1351941 писал(а):

Это и есть одна из формул Абеля, которая тут тоже неоднократно упоминалась

Ну хорошо. Второй вопрос так и не снят.

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

При рассмотрении двух возможных случаев пришли к противоречию

А почему не может быть других случаев? Понятно ,что вы проверяли случаи делимости на 3 ,неделимости на 3 ,но хотелось бы убедиться ,что этого достаточно.

[Someone]

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

$a = a_1 a_2$, где $a_1 ,a_2$ взаимно простые числа

Ничего, что таких пар взаимно простых $a_1$ и $a_2$ может быть много разных?

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

Поскольку числа $b, c, c - b, ( c - b)^2 + 3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что $c - b = a_1^3$. (5)

Никоим образом не следует. Ввиду предыдущего замечания. Это должно быть сформулировано совсем другими словами. Вы хотите здесь формулы Абеля вывести? Можно было бы ограничиться тем, что их написать. И для случая, когда взаимно простые числа $a,b,c$ не делятся на $3$, и для случая, когда одно из них делится на $3$.

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

Из равенства (4) следует, что левая часть кратна числу $c - b$

Естественно.

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

или выражение $a -(c - b)$ кратно $c - b$

А это ещё с какой стати? Предъявите доказательство.

Замечания ко второму пункту аналогичные.

[glafira krinner]

1) Так как $c-b $ не равно единице и $c-b, (c-b)^2+3bc$ взаимно простые, то из равенства (1) следует, что число $ a$ можно представить в виде произведения $a=a_1a_2$, где $a_1, a_2$ взаимно простые числа.
2) В равенстве (1), если $ c-b$ кратно 3, то правая часть этого равенства становится кратной 9 после вынесения тройки за скобку. Но поскольку в левой части равенства находится третья степень, то делаем вывод: $a=3a_1a_2,$ после чего следует, что $c-b=9a_1^3$.
3) Случай делимости на 3 рассматривается из-за того, что равенство (1) содержит утроенное произведение. Все остальные случаи входят в первый случай.
4) Да, случаев, когда $a_1, a_2$ являются взаимно простыми, может быть много. От этого каркас доказательства не меняется.
5) Так как числа $c-b$ и $(c-b)^2+3bc $(случай, когда $c-b$ не кратно 3) взаимно простые, а равенство (1) в левой части содержит третью степень, то эти числа являются множителями числа $a $ третьей степени. Из чего следует, что $c-b=a_1^3$.
6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.

[Someone]

glafira krinner в сообщении #1352115 писал(а):

6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.

Неверно. $a$ и $c-b$ не являются взаимно простыми, поэтому в равенстве

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)

второй множитель в левой части тоже не является взаимно простым с $c-b$. Поэтому $a$ не делится на $c-b$.

P.S. Равенство (4) написано неправильно. Нет, всё в порядке. Как-то не так я его воспринял.
P.P.S. Остальное не смотрел.

[glafira krinner]

Спасибо за вопросы. Жду новых.

[Someone]

glafira krinner в сообщении #1352300 писал(а):

Жду новых.

По правилам форума, на вопросы надо отвечать, не дожидаясь новых.

[glafira krinner]

Непонятно, на какой вопрос надо отвечать.

[Someone]

По поводу ошибки в вашем шестом пункте.

[glafira krinner]

Someone в сообщении #1352446 писал(а):

По поводу ошибки в вашем шестом пункте
.

Лемма. Если $y$ кратно $z$, а $x$ не кратно $z$, то $x$\pm$y$ не кратно $z$.

Утверждение. В равенстве (4) $a$ кратно $c-b$.
Доказательство проводим методом от противного: предположим, что $a$ не кратно $c-b$. Тогда, согласно Лемме,$ a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Далее, согласно Лемме, $(a-(c-b))^2+3a(c-b)$ не кратно $ c-b$. Получили, что левая часть равенства (4) не делится на $c-b.$ Противоречие. Значит, $a$ кратно $c-b$.

[Someone]

glafira krinner в сообщении #1352650 писал(а):

Утверждение. В равенстве (4) $a$ кратно $c-b$.
Доказательство проводим методом от противного: предположим, что $a$ не кратно $c-b$. Тогда, согласно Лемме,$ a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Далее, согласно Лемме, $(a-(c-b))^2+3a(c-b)$ не кратно $ c-b$. Получили, что левая часть равенства (4) не делится на $c-b.$ Противоречие. Значит, $a$ кратно $c-b$.

Someone в сообщении #1352188 писал(а):

glafira krinner в сообщении #1352115 писал(а):

6) Если $a$ не кратно $c-b$, то $a-(c-b)$ не кратно $c-b$. Тогда в равенстве (4) выражение в скобках не кратно $c-b$. Отсюда следует, что вся правая часть равенства не делится на $c-b,$ что приводит к неравенству.

Неверно. $a$ и $c-b$ не являются взаимно простыми, поэтому в равенстве

glafira krinner в сообщении #1351892 писал(а):

$(a -(c - b))(( a -(c - b))^2 +3a(c - b)) = 3bc(c - b)$. (4)

второй множитель в левой части тоже не является взаимно простым с $c-b$. Поэтому $a$ не делится на $c-b$.