Корректно ли такое решение школьной задачи на оптимизацию?

[bitcoin]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста! Корректно ли такое решение школьной задачи на оптимизацию?

В двух об­ла­стях есть по $160$ рабочих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по $5$ часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или никеля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет $0,1$ кг алю­ми­ния или $0,1$ кг никеля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи $x$ кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся $x^2$ человеко-часов труда, а для до­бы­чи $y$ кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся $y^2$ человеко-часов труда.
Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и никеля, в ко­то­ром на 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся 1 кг никеля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство сплава. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Решение.
Для производства сплава заводу необходимо получить равное количество алюминия и никеля, поэтому рабочие из первой области должны разделиться на две бригады по $80$ человек. Работая по 5 часов в сутки, бригады добудут $0,1\cdot 80\cdot 5 = 40$ кг алюминия и $40$ кг никеля в сутки. Из них на заводе изготовят $80$ кг сплава.

Во второй области количество добытого алюминия или никеля пропорциональны квадрату затраченных человеко-часов, поэтому за 5 часов в сутки 80 рабочих добудут $\sqrt{5\cdot 80}=20$ кг любого из металлов. Поскольку заводу необходимо получить равное количество металлов, необходимо разделить рабочих поровну, тогда они произведут $20$ кг алюминия и $20$ кг никеля. Из них на заводе изготовят $40$ кг сплава.

Тем самым, завод сможет производить $120$ кг сплава ежедневно.

-- 05.11.2018, 14:46 --

Вопрос возник из-за того, что мне кажется, что со второй областью не все так просто, нельзя так слету сказать, что количество человекочасов нужно делить поровону, и нужно искать наибольшее значение у выражения $x+y$ при ограничениях $x^2+y^2=800$ и $x\ge 0, y\ge 0$

[iifat]

bitcoin в сообщении #1351884 писал(а):

тогда они произведут $20$ кг алюминия и $20$ кг никеля

Во-первых, не 20 и не 20. Во-вторых это таки не доказательство. Ответ, подозреваю, праильный, но на доказательство не тянет, имхо.

[bitcoin]

Я вот себе представляю геометрическое решение, где $x^2+y^2=800$ будет окружностью и нам нужно найти наибольшее значение параметра $S$, при котором прямая $x+y=S$ будет иметь общие точки с окружностью в первой четверти. Но вот как проще всего доказать, что координаты точки касания будут $(20;20)$?. Да, видно, что есть симметрия, но как емко, лаконично и понятно это объяснить?

-- 05.11.2018, 15:01 --

Спрашиваю, потому как такое решение (что в стартпосте) нашел на сайте, где опечаток не так много и вроде как уважаемый сайт https://ege.sdamgia.ru/problem?id=513293 (но в данном случае показалось, что аргументация решения хромает).
Кстати, а какие еще есть способы решить? Я вот вижу еще один. Так как $y=\sqrt{800-x^2}$, то нам нужно максимизировать $f(x)=x+\sqrt{800-x^2}$. А есть ли еще, кстати, варианты?

iifat в сообщении #1351886 писал(а):

Во-первых, не 20 и не 20. Во-вторых это таки не доказательство. Ответ, подозреваю, праильный, но на доказательство не тянет, имхо.

Точно ли не $20$ и $20$?

[umarus]

Думаю можно сказать что наибольшее значение у+х=k когда прямая является тангенсом или тогда брать производную равную нулю.

[iifat]

bitcoin в сообщении #1351888 писал(а):

Точно ли не $20$ и $20$?

Действительно, 20 и 20. Виноват.

bitcoin в сообщении #1351888 писал(а):

Я вот себе представляю геометрическое решение

Странно вы себе его представляете. Условие у вас какое? Всего 160 человек, не? А максимизировать надо сумму квадратов. С чего б им вдруг меняться местами?
Но я даже не об этом. У вас две бригады, и максимизировать надо общую функцию. Вы почему-то решаете вместо этого две задачи, в каждой области по отдельности, что вкупе с условием пропорции металлов даёт однозначное, собственно, решение. Вообще говоря, это неверно.
Хотя, повторюсь, верю, что ответ получится тот же.

[bitcoin]

iifat в сообщении #1351902 писал(а):

Вы почему-то решаете вместо этого две задачи, в каждой области по отдельности, что вкупе с условием пропорции металлов даёт однозначное, собственно, решение. Вообще говоря, это неверно.

Спасибо.
А можно ли тогда так аргументировать:
В первой области у нас есть $800$ трудочасов, с помощью которых можно произвести $80$ кг сплава. Тогда пусть в первой области мы сможем добыть $a$ кг алюминия и $b$ кг никеля. Тогда $a+b=80$. В первой же области при любом соотношении между $a$ и $b$ количество добытого металла будет $80$ кг. Потому мы сначала можем найти $x,y$ при которых количество добытого металла во второй области максимально, а после этого выбрать $a$ и $b$ так, чтобы суммарная масса никеля была равной суммарной массе алюминия, то есть нам нужно, чтобы выполнялось соотношение $a+x=b+y$, мы уже определили $x,y$, потому у нас есть система, $a-b=y-x$ и $a+b=80$, из которой получаем, что $a=\dfrac{y-x+80}{2}$, $b=\dfrac{80-y+x}{2}$, но это все будет работать, если $x-y\leqslant 80$. Можно ли так?

iifat в сообщении #1351902 писал(а):

А максимизировать надо сумму квадратов

Разве? Это ведь трудочасы будут суммой квадратов, а нам нужно больше произвести металла..

-- 05.11.2018, 18:33 --

iifat в сообщении #1351902 писал(а):

Хотя, повторюсь, верю, что ответ получится тот же.

Меня идея больше интересует, чем ответ

-- 05.11.2018, 19:07 --

umarus в сообщении #1351899 писал(а):

Думаю можно сказать что наибольшее значение у+х=k когда прямая является тангенсом или тогда брать производную равную нулю.

Вы имели ввиду прямая является касательной (tangent)? Какую производную равную нулю?

-- 05.11.2018, 19:07 --

umarus в сообщении #1351899 писал(а):

Думаю можно сказать что наибольшее значение у+х=k когда прямая является тангенсом или тогда брать производную равную нулю.

Вы имели ввиду прямая является касательной (tangent)? Какую производную равную нулю?

[iifat]

Начну с этого:

bitcoin в сообщении #1351945 писал(а):

Это ведь трудочасы будут суммой квадратов, а нам нужно больше произвести металла

Трудочасов что в первой, что во второй области одинаково — 800. Это ведь произведение работников на время. Как раз таки добыча во второй и будет суммой квадратов.

bitcoin в сообщении #1351945 писал(а):

В первой же области при любом соотношении между $a$ и $b$ количество добытого металла будет $80$ кг. Потому мы сначала можем найти $x,y$ при которых количество добытого металла во второй области максимально, а после этого выбрать $a$ и $b$ так, чтобы суммарная масса никеля была равной суммарной массе алюминия

Да, вот это уже похоже на правду.

[mserg]

iifat в сообщении #1351966 писал(а):

... Как раз таки добыча во второй и будет суммой квадратов...

Что-то я не понял про квадраты...
Пусть $z_1$ - время, истраченное на добычу алюминия в первом городе, $z_2$ - во втором, и s - конечная масса сплава.
Тогда, по алюминию имеем:
$0.5\cdot s \le 0.1 \cdot z_1 + \sqrt{z_2}$
Для второго металла
$0.5\cdot s \le 0.1 \cdot (800-z_1) + \sqrt{800-z_2}$
Для получения верхней оценки сплава сложим неравенства, получим:
$s \le 80 + \sqrt{z_2} + \sqrt{800-z_2}$
Т.е. получается не сумма квадратов, а сумма корней квадратных.
Исследование функции на экстремум (в школах же это еще изучают?) приводит к равенству подкоренных выражений, т.е. к $z_2=400$.
Далее, подстановка во все неравенства приводит к $z_1=400$, и, соответственно, к оптимальному решению 120

[bitcoin]

mserg в сообщении #1351999 писал(а):

в школах же это еще изучают?

Да, изучают.
Кстати, да, хорошее решение, удобное, спасибо. А нельзя ли было сделать так?
Трудочасы разбазаривать нехорошо, потому будем считать, чтобы максимизировать количество сплава, нужно обойтись без тунеядства, то есть не будем оценивать сверху, а просто будем считать, что все работали по полной:
Пусть $z_1$ - время, истраченное на добычу алюминия в первом городе, $z_2$ - во втором, и s - конечная масса сплава.
Тогда, по алюминию имеем:
$0.5\cdot s = 0.1 \cdot z_1 + \sqrt{z_2}$
Для второго металла
$0.5\cdot s = 0.1 \cdot (800-z_1) + \sqrt{800-z_2}$
Сложим уравнения, получим:
$s = 80 + \sqrt{z_2} + \sqrt{800-z_2}$
И далее, через производную....
P.S. Кстати, а Вы также считаете, что в стартпосте необоснованное решение?

[DeBill]

bitcoin в сообщении #1352002 писал(а):

Вы также считаете, что в стартпосте необоснованное решение?

Безусловно!
Если бы я проверял эту работу на ЕГЭ (или на одимпиаде), больше одного балла (из четырех) это решение не получило бы
(впрочем, проверяющие ЕГЭ не имеют свободы воли - у них достаточно жесткие инструкции. Однако, мой не слишком богатый опыт говорит, что даже среди высококвалифицированных проверяющих, в пяти процентах случаев имеются разногласия в 1-2 балла).
Почему так? А вот если бы вместо функций $x^2$ были бы другие (напр., $\sqrt{x}$)? оптимальным будет иной план (в первой группе - не поровну). Однако, решение не использует специфику данных в условии функций. Потому решение не может быть верным (хотя и дает - случайно - правильный ответ)

[mserg]

bitcoin
В этой задаче неравенства вполне корректно заменить на равенства.
На счет корректности решения, приведенного по ссылке, уже ответили несколько раз - присоединяюсь, - максимум не доказан.

[bitcoin]

DeBill в сообщении #1352005 писал(а):

Безусловно!
Если бы я проверял эту работу на ЕГЭ (или на одимпиаде), больше одного балла (из четырех) это решение не получило бы

Спасибо!

P.S. Нашел копию этого же задания, сформулированного иными словами, на этом же сайте, как Вы бы оценили это решение? (можно ли так обосновать распределение трудочасов в первой области?
https://ege.sdamgia.ru/test?pid=513301
Если лень переходить по ссылке, то можно ли так писать "Решение.
Поскольку алюминий и никель взаимозаменяемы, а рабочие первой области одинаково эффективно добывают и алюминий, и никель, они могут добывать любой из металлов. За сутки ими будет добыто 160 · 5 · 0,1 = 80 кг металла.

Пусть во второй области алюминий добывают t рабочих, а никель — 160 − t рабочих..."

[Sicker]

bitcoin в сообщении #1351884 писал(а):

Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи $x$ кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся $x^2$ человеко-часов труда, а для до­бы­чи $y$ кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся $y^2$ человеко-часов труда.

Задачу можно было бы сделать интереснее, если ввести при квадратах дополнительные коэффициенты пропорциональности.
Да так и с размерностью выходят проблемы. А ответ про разделения поровну правильный

[mserg]

Цитата:

https://ege.sdamgia.ru/test?pid=513301

А решение этой задачи корректно, т.к. в ней нет условия, связанного с производством сплава.

[Sicker]

bitcoin
Тут вообще не нужна оптимизация. Легко показать, что нам нужно получить максимальное возможное число минимально добываемого материала (раз сплавы делаются из равного числа аллюминия и никеля). А оно равно одинаковому числу килограмм добываемого аллюминия и никеля, при соответствующем распределении рабочих. Т.к. если мы увеличим добычу одного металла, то уменьшим добычу другого.

-- 05.11.2018, 22:52 --

bitcoin в сообщении #1352013 писал(а):

https://ege.sdamgia.ru/test?pid=513301

Это совершенно ДРУГАЯ задача.
Вот тут как раз нужна оптимизация