Определение множества вещественных чисел

[xjar1]

Приветствую, в учебнике Зорича по мат. анализу вещественные числа вводятся так:
Множество $\mathbb{R}$ называется множеством вещественных чисел, если выполнен следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой вещественных чисел, который кратко можно записать так:

1. $(\mathbb{R},+,\cdot)$ -- поле
2. $(\mathbb{R},\le)$ -- линейно упорядоченное множество
3. $(x \le y) \Rightarrow (x+z \le y+z)$
4. $(0 \le x) \wedge (0 \le y) \Rightarrow (0 \le x y)$
5. Аксиома полноты. Пусть $X,Y$ -- непустые подмножества $\mathbb{R}$, что для любых $x \in X$ и $y \in Y$ выполнено $x \le y$, то существует такое $c \in \mathbb{R}$, что $x \le c \le y$ для любых $x \in X$ и $y \in Y$.

Никак не могу понять, разве весь этот список аксиом не выполняется для $\mathbb{Q}$? В чем здесь отличие?

[Mikhail_K]

xjar1 в сообщении #1351967 писал(а):

Никак не могу понять, разве весь этот список аксиом не выполняется для $\mathbb{Q}$?

Пятая аксиома не выполняется. Наверняка, в учебнике найдётся пример, почему это так, если поищете.

[thething]

Либо сами придумайте такую пару множеств из $\mathbb{Q}$, что для них существует единственное $c\notin\mathbb{Q}$.

[xjar1]

thething в сообщении #1351970 писал(а):

Либо сами придумайте такую пару множеств из $\mathbb{Q}$, что для них существует единственное $c\notin\mathbb{Q}$.

Спасибо за наводку! $[1,\sqrt{2})$ и $(\sqrt{2},2]$

(Оффтоп)

Прошу прощения за глупый вопрос, но допустима только следующая расстановка запятых в предложении? Например "существует $x$ из $A$ такое, что $x>1$". Всю жизнь в конспектах писал что-то вроде $\exists x \in A$, т.ч. $x>1$.

[Mikhail_K]

(Оффтоп)

xjar1 в сообщении #1351996 писал(а):

допустима только следующая расстановка запятых в предложении

Математики - народ к пунктуации не придирчивый) Ставьте запятые так, как Вам удобнее)

[grizzly]

(Оффтоп)

xjar1 в сообщении #1351996 писал(а):

Прошу прощения за глупый вопрос, но допустима только следующая расстановка запятых в предложении? Например "существует $x$ из $A$ такое, что $x>1$". Всю жизнь в конспектах писал что-то вроде $\exists x \in A$, т.ч. $x>1$.

Вопрос очень даже неглупый. А ответ на него формально прост: да. И объясняется очень просто: оправдать запятую только перед "такой что" было бы можно, если бы существовал союз "такой что". Но нет такого союза и вряд ли может быть. Бывает, что авторы математических текстов ставят запятую перед "такой", а корректоры добавляют ещё одну -- перед "что". Это, наверное, худший вариант.

Лично мне больше бы понравилась запятая перед "такой что". Ведь по логике математического языка это цельное выражение, которое иногда обозначают двоеточием или вертикальной чертой.