Предельная функции распределения сумматорной ариф. функции

[vicvolf]

Теперь для конкретной арифметической функции, например функции Мебиуса - $\mu(i)$.
$\mu(i)$ принимает три значения: $a_1=-1,a_2=0,a_3=+1$.
Среди первых 10 натуральных чисел $(1 \leq i \leq 10)$: в 4 случаях - $\mu(i)=-1$, в 3 случаях - $\mu(i)=0$ и в 3 случаях $\mu(i)=1$.
Поэтому значения вероятностей равны:
$\nu_1(10)=N\{\mu(i)=-1\}/10=4/10$,
$\nu_2(10)=N\{\mu(i)=0\}/10=3/10$,
$\nu_3(10)=N\{\mu(i)=1\}/10=3/10$.
Хочу уточнить, что даже при фиксированном значении $n=10$ вероятность $P_{10}$ является отображением $A_{10} \to R$, так как количество возможных событий $2^{10}$. Но нас интересуют значения вероятностей именно конкретных указанных событий.

[g______d]

Так что такое $P_{10}$ — отображение или набор значений?

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1346730 писал(а):

вероятность $P_{10}$ является отображением $A_{10} \to R$

[g______d]

vicvolf в сообщении #1346660 писал(а):

при фиксированном $n=10$ - $P_{10}$ - это набор значений вероятностей.

vicvolf в сообщении #1346730 писал(а):

даже при фиксированном значении $n=10$ вероятность $P_{10}$ является отображением $A_{10} \to R$,

Эти два утверждения противоречат друг другу.

[vicvolf]

Поэтому я и написал в сообщении, что хочу уточнить. Правильно, что является отображением.

[g______d]

Я попросил не уточнять, а переписать абзац

vicvolf в сообщении #1346194 писал(а):

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Определим случайную величину величину $f_n:f_n(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$ в вероятностном пространстве $(Q_n,A_n,P_n)$, где $Q_n=\{1,...,n\}$,$A_n$ - все подмножества $Q_n$ и $P_n=(\nu_1,...,\nu_k)$, где $\nu_l,(1 \leq l\leq k):A_n \to R$. Значения вероятностей при фиксированном $n$ равны: $\nu_1(n)=N(f(i)=a_1)/n$, ...,$\nu_k(n)=N(f(i)=a_k)/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

так, чтобы было корректно и правильно. Перепишите, потом буду читать весь текст.

[vicvolf]

Пусть арифметическая функция $f:N \to R$ принимает значения: $a_1$ ,..., $a_k$. Определим случайную величину величину $f_n:f_n(m)=f(m),(1 \leq m \leq n)$ в вероятностном пространстве $(Q_n,A_n,P_n)$, где $Q_n=\{1,...,n\}$,$A_n$ - все подмножества $Q_n$ и $P_n:A_n \to R$. Рассмотрим значения вероятностей: $\nu_1(n)=N(f(i)=a_1)/n$, ...,$\nu_k(n)=N(f(i)=a_k)/n$, где $1 \leq i \leq n$ и $\nu_1(n)+...+\nu_k(n)=1$.

[vicvolf]

Уточню формулировку Утверждения 3

Утверждение 3

Пусть случайная величина $f$ принимает значения: $a_1,...,a_k$ соответственно с вероятностями: $p_1,...,p_k$.
.
Тогда в окрестности $t=0$ справедливо следующее разложение в ряд Тейлора для характеристической функции от $f$:

$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, (13)

где $M[f^j]$ - $j$ - ый момент от случайной величины $f$.

Доказательство

Среднее значение (математическое ожидание) случайной величины $f$ ограничено $M[f]<\infty$, дисперсия и другие моменты высших порядков случайной величины $f$ также ограничены - $M[f^l]<\infty$.

Поэтому на основании свойства 5 характеристической функции на стр. 131 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г выполняется:

$\varphi^{(j)}_f(0)=t^{j-1}M[f^{j-1}]$. (14)

Следовательно, так как $M[f^l]<\infty$, то в окрестности $t=0$ справедливо разложение характеристической функции от $f$ в ряд Тейлора:

$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, ,

что соответствует (13) ч.т.д.

Это чисто вероятностное утверждение. Смысл его заключается в том, что если имеется дискретная случайная величина с конечным числом значений, то ее характеристическая функция имеет указанное разложение в ряд Тейлора в окрестности точки $t=0$.

Утверждения 2, 3 и будущее Утверждение 4 носят характер маленьких лемм (буквально в одну строку). Данные Утверждения (леммы) будут использоваться при доказательстве заключительного Утверждения 5.

[vicvolf]

g______d в сообщении #1346793 писал(а):

Я попросил не уточнять, а переписать абзац
так, чтобы было корректно и правильно.

Я сделал это. Сразу после Вашего сообщения.

Цитата:

Перепишите, потом буду читать весь текст.

Да, там совсем немного. Одна строка в Утверждении 2 и одна строка в Утверждении 3.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1347761 писал(а):

Я сделал это. Сразу после Вашего сообщения.

Прочитаю. Пока занят.

[vicvolf]

Изменю формулировку Утверждения 3, так как в таком виде оно подходит только для дискретной случайной величины $f$.

Утверждение 3

Пусть случайная величина $f$ ограничена. Тогда в окрестности $t=0$ справедливо следующее разложение в ряд Тейлора для характеристической функции от $f$:
$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, (13)

где $M[f^j]$ - $j$ - ый момент от случайной величины $f$.

Доказательство

Для ограниченной случайной величины $f$ среднее значение (математическое ожидание) случайной величины ограничено $M[f]<\infty$, дисперсия и другие моменты высших порядков случайной величины $f$ также ограничены - $M[f^l]<\infty$.

Поэтому на основании свойства 5 характеристической функции на стр. 131 Боровков "Теория вероятностей" изд. 3 1999 г выполняется:

$\varphi^{(j)}_f(0)=t^{j-1}M[f^{j-1}]$. (14)

Следовательно, так как $M[f^l]<\infty$, то в окрестности $t=0$ справедливо разложение характеристической функции от $f$ в ряд Тейлора:

$\varphi_f(t)=1+\sum\limits_{j=1}^l {(it)^j M[f^j]/j!+o(t^l)}$, ,

что соответствует (13) ч.т.д.

[vicvolf]

Утверждение 4

Пусть имеются случайные величины $f_n$ и случайная величина $f:f_n \to f$ (по распределению) при $n \to \infty$.

Допустим, что для математического ожидания $f_n$ выполняется:

$M[f_n]=M[f]+o(g(n))$, (15)

где $g(n)$ - монотонно убывающая функция и $lim_{n \to \infty} {g(n)}=0$.

Тогда асимптотика характеристической функции $f_n$ при $n \to \infty$ равна:

$\varphi_{f_n}(t)=\varphi_f(t)+r$, (16)

где $|r | = |t|o(g(n))$.

Доказательство

Рассмотрим модуль разности характеристических функций:

$|\varphi_{f_n}(t)-\varphi_f(t)|=|M[e^{itf_n}]-M[e^{itf}]|=|M[e^{itf_n}-e^{itf}]|$. (17)

Разложим $e^{itf_n},e^{itf}$ в ряд Тейлора при $n \to \infty$:

$|M[e^{itf_n}-e^{itf}]|=|M[itf_n-itf] - M[f_n^2-f^2)t^2/2]+...$|$ \leq |t(M[{f_n]-M[f])|+t^2/2(M{f_n]-M[f])^2 +...=|t|o(g(n))+t^2o(g(n)^2)=|t|o(g(n))$.(18)

Подставив (18) в (17), получим при $n \to \infty$:

$|r|=|\varphi_{f_n}(t)-\varphi_f(t)| = |t|o(g(n))$, что соответствует (16).

[Lia]

Выискивать ошибки не имею возможности, поэтому тему не читаю. По существу:

vicvolf в сообщении #1351476 писал(а):

$M[f_n]=M[f]+o(g(n))$, (15)
где $g(n)$ - монотонно убывающая функция и $\lim_{n \to \infty} {g(n)}=0$.

При навешивании о-малого информация о монотонности теряется, а поскольку в дальнейшем тексте она не используется, то и неясно, к чему она.

Вместо того, чтобы мучить ряды (которые на самом деле формула Тейлора, и выполнена в окрестности нуля при известных дополнительных условиях, ряды здесь не прокатят), было бы гораздо эффективнее использовать простейшую оценку $e^z-1$. И то, что Вы хотите, получится в одно действие. Только это очень грубая оценка и при больших значениях аргумента х.ф. она ничего не даст. Как Вы ее собираетесь использовать - только Вам известно.

[vicvolf]

Lia в сообщении #1351543 писал(а):

При навешивании о-малого информация о монотонности теряется, а поскольку в дальнейшем тексте она не используется, то и неясно, к чему она.

Согласен, в этом утверждении она не нужна. Я использую монотонную функцию $g(n)=o(1/n)$ в следующем утверждении.

Цитата:

было бы гораздо эффективнее использовать простейшую оценку $e^z-1$. И то, что Вы хотите, получится в одно действие.

Я ее и использую, с оценкой дополнительного отбрасываемого члена.

[Lia]

vicvolf в сообщении #1351736 писал(а):

Я ее и использую, с оценкой дополнительного отбрасываемого члена.

Необоснованно. Нет у Вас права здесь в ряд раскладывать.