Как пользоваться определением предела последовательности

[Konst24]

Здравствуйте.
В целом понятен смысл определения предела последовательности. Но, однако, не совсем.
Вот предположим

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{1}{n}=10}$$

Как мы можем доказать, что по определению данное не выполнимо? При чем, я знаю, что есть определение расходящейся последовательности (отрицание сходящейся), но допустим мы уверены, что вышенаписанный предел посчитан верно, как доказать неверность его вычисления, используя лишь определение предела последовательности?

[vladg]

Просто беретё и опровергаете "определение" предела последовательности для данной последовательности и её якобы предела.

[arseniiv]

Если вдруг застряли в формализме или что-нибудь подобное: Как опровергают $\forall x\in X.\;\varphi(x)$? Находят контрпример — такой $x\in X$, что $\varphi(x)$ неверно. Вот и найдите любое расстояние $\varepsilon$, ближе которого члены последовательности к «пределу» не приближаются.

[thething]

Konst24 в сообщении #1351605 писал(а):

В целом понятен смысл определения предела последовательности.

Если смысл понятен, то огласите его, пожалуйста.

Konst24 в сообщении #1351605 писал(а):

как доказать неверность его вычисления, используя лишь определение предела последовательности?

Расписать определение, найти, при каких $n$ оно выполняется, сравнить со смыслом определения предела последовательности.

[Konst24]

vladg в сообщении #1351606 писал(а):

Просто беретё и опровергаете "определение" предела последовательности для данной последовательности и её якобы предела.

Но ведь мы можем найти решение неравенства
$|\frac{1}{n}-10|<\varepsilon$.

[arseniiv]

Нужно не чтобы у него было хоть какое-то решение. С чего начинается определение предела? $\forall \varepsilon>0\ldots$

[wrest]

Konst24 в сообщении #1351609 писал(а):

Но ведь мы можем найти решение неравенства
$|\frac{1}{n}-10|<\varepsilon$.

Тогда найдите решение для $\varepsilon=1$

[Konst24]

arseniiv в сообщении #1351610 писал(а):

Нужно не чтобы у него было хоть какое-то решение. С чего начинается определение предела? $\forall \varepsilon>0\ldots$

Хорошо, кажется, начал понимать.
Решим неравенство
$|\frac{1}{n}-10|<\varepsilon$
Так как на множестве натуральных чисел
$max(\frac{1}{n})=1$
то минимальное значение левой части неравенства равно 9. Мы можем подобрать значение $\varepsilon$, которое будет меньше этой цифры, тогда наше неравенство не будет иметь решений, а соответственно существуют окрестности точки 10, где содержится лишь ограниченное число значений последовательности $\frac{1}{n}$, что противоречит определению предела последовательности.

А возможно ли сказать еще так? Решим неравенство
$|\frac{1}{n}-10|<\varepsilon$
Получим
$n<\frac{1}{10-\varepsilon}$
Соответственно мы заведомо знаем, что наше n меньше какого либо действительного числа, а за каждым действительным числом можно построить натуральное, которое будет превосходить это число, соответственно существуют некоторые окрестности точки 10, где содержится лишь ограниченное число значений последовательности.
Но я не уверен, что правильно решил неравенство.

[Konst24]

А вот ещё подскажите, пожалуйста.
Нужно доказать

$$\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{(-1)^{n+1}}{n}=0}$$

И указать номер $N$, начиная с которого будет выполняться определение предела.

Получаем:
$-\varepsilon<\frac{(-1)^n*(-1)}{n}<\varepsilon$
Далее перехожу к решению сначала левой части.
$(-1)^n<\varepsilon*n$
И как же здесь выразить $n$? Или я что-то делаю не так?

[thething]

Konst24
Пока Вы не напишете полное определение предела последовательности подсказывать что-либо бесполезно.

[Konst24]

thething в сообщении #1351640 писал(а):

Konst24
Пока Вы не напишете полное определение предела последовательности подсказывать что-либо бесполезно.

Хорошо,
$\lim\limits_{n \to \infty}{xn=a\Longleftrightarrow}$
$\forall\varepsilon>0 \exists N(\varepsilon) \in\mathbb{N}: \forall n \geqslant N: |xn-a|<\varepsilon$

[thething]

Теперь аккуратно подставьте туда $x_n$ и $a$ и подумайте, надо ли переходить к двойному неравенству?

[Konst24]

thething в сообщении #1351646 писал(а):

Теперь аккуратно подставьте туда $x_n$ и $a$ и подумайте, надо ли переходить к двойному неравенству?

Ну смотрите,
$|\frac{(-1)^n(-1)}{n}|<\varepsilon $
$|\frac{(-1)^n(-1)}{n}|=|\frac{(-1)^n}{n}| $
$|\frac{(-1)^n}{n}|<\varepsilon $
$|\frac{(-1)^n}{n}|=|\frac{1}{n}| $
$|\frac{1}{n}|<\varepsilon $
$\frac{1}{n}<\varepsilon $
$n>\frac{1}{\varepsilon }$

Так?

Агаааа.... а вот и нет, подставим $\varepsilon = 10$, тогда уже не работает.

[thething]

Так-то оно так, но откуда вот это взялось

Konst24 в сообщении #1351656 писал(а):

$|\frac{(-1)^n(-1)}{n}|<\varepsilon $

?

[Konst24]

thething в сообщении #1351659 писал(а):

Так-то оно так, но откуда вот это взялось

Konst24 в сообщении #1351656 писал(а):

$|\frac{(-1)^n(-1)}{n}|<\varepsilon $

?

$\frac{(-1)^{n+1}}{n} = \frac{(-1)^n*(-1)}{n}$. Вы это имели ввиду?