Кусочно-гладкая поверхность по Зоричу

[vladg]

Зорич приводит в своём учебнике следующие определения:

Нульмерная кусочно-гладкая поверхность - это просто точка.
Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это поверхность размерности $k$, из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

Здесь всё понятно, вроде бы. Далее идут определения, связанные с ориентацией кусочно-гладких поверхностей:

Предположим, что две гладкие поверхности $S_i, S_j$ из определения выше ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска $\Gamma$ ($k - 1$)-мерной поверхности (ребра). Тогда на $\Gamma$, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями $S_i$ и $S_j$ соответственно. Если эти две ориентации на любом таком ребре $\Gamma \subset \overline{S_i} \cap \overline{S_j}$ противоположны, то исходные ориентации $S_i$ и $S_j$ считаются согласованными. В случае, если $\overline{S_i} \cap \overline{S_j}$ пусто или имеет размерность меньшую, чем $(k - 1)$, любые ориентации $S_i$ и $S_j$ считаются согласованными.

Наконец, кусочно-гладкая $k$-мерная поверхность называется ориентируемой, если с точностью до конечного или счётного числа кусочно-гладких поверхностей размерности не выше $(k - 1)$ она является объединением гладких ориентируемых поверхностей $S_i$, допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.

Вопрос следующий. Определение согласованности ориентаций как бы предполагает, что пересечением замыканий гладких поверхностей из определения является либо пустое множество, либо поверхность размерности не выше $(k - 1)$. Действительно ли это так, и если так, то почему, как это вывести из определения кусочно-гладкой поверхности?

[Someone]

vladg в сообщении #1351613 писал(а):

Определение согласованности ориентаций как бы предполагает, что пересечением замыканий гладких поверхностей из определения является либо пустое множество, либо поверхность размерности не выше $(k - 1)$.

Об этом сказано в определении.
Впрочем, а определение (просто) поверхности какое? И определение гладкой поверхности заодно.

[vladg]

Someone
Зорич использует слово "поверхность" как синоним подмногообразия в $\mathbb{R}^n$, возможно, с краем. Если хотите, вот его определения:
Поверхность в $\mathbb{R}^n$ размерности $k$ - подмножество $\mathbb{R}^n$, для любой точки которого найдется её окрестность $U$ и гомеоморфизм $\phi\colon \mathbb{R}^k \to U$ или $\phi\colon H^k \to U$, где $H^k= \{x \in \mathbb{R}^k | x^1 \leq 0\}$.

Поверхность называется $C^l$-гладкой, если эти $U$ и $\phi$ можно выбрать такими, что $\phi \in C^l$ и имеет ранг $k$ в каждой точке области определения.