Кусочно-гладкая поверхность по Зоричу

[vladg]

Зорич приводит в своём учебнике следующие определения:

Нульмерная кусочно-гладкая поверхность - это просто точка.
Кусочно-гладкая поверхность размерности $k$ - это поверхность размерности $k$, из которой можно удалить конечное или счётное число кусочно-гладких поверхностей так, что остаток распадётся на гладкие $k$-мерные поверхности (с краем или без края).

Здесь всё понятно, вроде бы. Далее идут определения, связанные с ориентацией кусочно-гладких поверхностей:

Предположим, что две гладкие поверхности $S_i, S_j$ из определения выше ориентированы и примыкают друг к другу вдоль гладкого куска $\Gamma$ ($k - 1$)-мерной поверхности (ребра). Тогда на $\Gamma$, как на краю, возникают ориентации, согласованные с ориентациями $S_i$ и $S_j$ соответственно. Если эти две ориентации на любом таком ребре $\Gamma \subset \overline{S_i} \cap \overline{S_j}$ противоположны, то исходные ориентации $S_i$ и $S_j$ считаются согласованными. В случае, если $\overline{S_i} \cap \overline{S_j}$ пусто или имеет размерность меньшую, чем $(k - 1)$, любые ориентации $S_i$ и $S_j$ считаются согласованными.

Наконец, кусочно-гладкая $k$-мерная поверхность называется ориентируемой, если с точностью до конечного или счётного числа кусочно-гладких поверхностей размерности не выше $(k - 1)$ она является объединением гладких ориентируемых поверхностей $S_i$, допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.

Вопрос следующий. Определение согласованности ориентаций как бы предполагает, что пересечением замыканий гладких поверхностей из определения является либо пустое множество, либо поверхность размерности не выше $(k - 1)$. Действительно ли это так, и если так, то почему, как это вывести из определения кусочно-гладкой поверхности?

[Someone]

vladg в сообщении #1351613 писал(а):

Определение согласованности ориентаций как бы предполагает, что пересечением замыканий гладких поверхностей из определения является либо пустое множество, либо поверхность размерности не выше $(k - 1)$.

Об этом сказано в определении.
Впрочем, а определение (просто) поверхности какое? И определение гладкой поверхности заодно.

[vladg]

Someone
Зорич использует слово "поверхность" как синоним подмногообразия в $\mathbb{R}^n$, возможно, с краем. Если хотите, вот его определения:
Поверхность в $\mathbb{R}^n$ размерности $k$ - подмножество $\mathbb{R}^n$, для любой точки которого найдется её окрестность $U$ и гомеоморфизм $\phi\colon \mathbb{R}^k \to U$ или $\phi\colon H^k \to U$, где $H^k= \{x \in \mathbb{R}^k | x^1 \leq 0\}$.

Поверхность называется $C^l$-гладкой, если эти $U$ и $\phi$ можно выбрать такими, что $\phi \in C^l$ и имеет ранг $k$ в каждой точке области определения.

[Gg322]

vladg в сообщении #1351613 писал(а):

В случае, если $\overline{S_i} \cap \overline{S_j}$ пусто или имеет размерность меньшую, чем $(k - 1)$, любые ориентации $S_i$ и $S_j$ считаются согласованными.

Хотел спросить пару вопросов про поверхности с краем:
Два конуса с общей вершиной можно ориентировать 4 способами. Получается все 4 способа согласованы?
1. a) Верно ли, что край поверхности $S\subset \mathbb{R}^n$ есть множество $\overline{S} \setminus S$, где $\overline{S}$ - замыкание $S$ в $\mathbb{R}^{n}?$
b) Имеют ли поверхности $S_1 = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2| 1<x^2+y^2<2 \right\rbrace$, $S_2 = \left\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2| 0<x^2+y^2\right\rbrace$ край?
c) Укажите край поверхностей $S_1 = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2| 1 \leqslant x^2+y^2<2 \right\rbrace$, $S_2 = \left\lbrace(x,y) \in \mathbb{R}^2| 1\leqslant x^2+y^2\right\rbrace$
2. Приведите пример неориентируемой поверхности с ориентируемым краем.

1. a) Нет. b) Нет. c) Окружность радиуса 1.
2. Лист Мебиуса.

[vpb]

Ответы правильные.

И, если я ничего не путаю, когда говорят о поверхности с краем, то предполагается, что край гладкий размерности $k-1$ (где $k$ --- размерность поверхности), да и сама поверхность гладкая (вне края). В этом смысле, конус не поверхность с краем (а с особенностью). (Но это не точно. Соответствующая система понятий у меня в голове нетвердо помнится, а вспоминать и разбираться точно сейчас недосуг (извините).)

[Gg322]

vpb
Спасибо. Конусы - это не гладкие поверхности с краем, а кусочно гладкие поверхности.

[Deathrose]

Все-таки двойной конус не является кусочно-гладкой поверхностью, т.к. у него есть точки, в окрестности которых он отличается от евклидова пространства (эта точка - общая вершина конуса). В определении кусочно-гладких поверхностей или многообразий требуют, чтобы они также были топологическими многообразиями, т.е. локально в окрестности любой точки, были евклидовыми пространствами фиксированной размерности.

[Gg322]

Deathrose
Получается множество $S=\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x^2+y^2\right\rbrace$ не является поверхностью?

[Deathrose]

Gg322 в сообщении #1645594 писал(а):

Deathrose
Получается множество $S=\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 | 0<x^2+y^2\right\rbrace$ не является поверхностью?

Это множество является поверхностью, у него каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную евклидову пространству (или, что то же самое, открытому шару) одной и той же размерности (в данном случае 2). Но двойной конус, заданный уравнением $z^2=x^2+y^2$ не будет являться поверхностью из-за точки $(0,0,0). Если выбрать одну половинку этого конуса, то она будет кусочно гладкой поверхностью (и топологическим многообразием).
При этом, например, в алгебраической геометрии, такой конус, и иные множества, которые формально не являются топологическими многообразиями из-за таких "плохих" точек, но которые задаются системой алгебраических уравнений, все равно будут называть "алгебраическим многообразием"/"алгебраической поверхностью". Точки, в которых нарушается структура топологического многообразия, называются особыми. В этом нет никакого противоречия, но нужно всегда понимать контекст. В дифференциальной геометрии и алгебраической/геометрической топологии принято конкретное определение гладкого или кусочно гладкого многообразия, а в алгебраической геометрии многообразие имеет другое определение.

-- 07.07.2024, 21:14 --

Да, и еще нужно отличать многообразие от многообразия с краем. И иметь в виду, что многообразие может быть открытым (без края) и открытым с краем.

[Gg322]

Deathrose
Я просто читал Зорича, и он пишет, что если из поверхности размерности $k$ удалить конечное или счетное количество поверхностей с размерностями не больше $k-1$, и поверхность распадается на гладкие поверхности, то эта поверхность называется кусочно гладкой. Получается по этому определению $x^2+y^2=z^2$ кусочно гладкая поверхность. Или нет?

[Deathrose]

Gg322 в сообщении #1645603 писал(а):

Deathrose
Я просто читал Зорича, и он пишет, что если из поверхности размерности $k$ удалить конечное или счетное количество поверхностей с размерностями не больше $k-1$, и поверхность распадается на гладкие поверхности, то эта поверхность называется кусочно гладкой. Получается по этому определению $x^2+y^2=z^2$ кусочно гладкая поверхность. Или нет?

Нет, не является: есть точки в которых этот конус устроен не как шар. Для кусочной гладкости многообразия нужно, чтобы оно было топологическим многообразием и были точки, в которых нарушается гладкость (т.е. те самые, удалив которые, мы получим гладкое многообразие). Но конус не удовлетворяет первомуе требованию.

[Gg322]

Deathrose
Но если удалить точку $(0,0,0)$ из $x^2+y^2=z^2$ мы же получим два множества, которые гомеоморфны $S =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2| 0<x^2+y^2\right\rbrace $, а $S$ - это гладкая поверхность. Просто не понимаю, где я ошибаюсь.

[Deathrose]

Gg322 в сообщении #1645605 писал(а):

Deathrose
Но если удалить точку $(0,0,0)$ из $x^2+y^2=z^2$ мы же получим два множества, которые гомеоморфны $S =\left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2| 0<x^2+y^2\right\rbrace $, а $S$ - это гладкая поверхность. Просто не понимаю, где я ошибаюсь.

Конус (двойной) не является топологическим многообразием, т.е. у него не каждая точка обладает окрестностью, которая гомеоморфна открытому шару фиксированной размерности. В данном случае эта точка - 0,0. Какую бы окрестность мы ни взяли, она не будет выглядеть как двумерный диск - это будет букет двух дисков (два диска, склеенных по точке).
Поэтому уже этого достаточно, чтобы сказать, что двойной конус - не кусочно гладкое многообразие.

Короче говоря, чтобы что-то было кусочно гладким многообразием, нужно два условия:
1. Это топологическое многообразие.
2. Есть набор точек, удалив который, мы получим гладкое многообразие.
Конус терпит фиаско в первом пункте.

[Gg322]

Deathrose

Цитата:

В данном случае эта точка - 0,0. Какую бы окрестность мы ни взяли, она не будет выглядеть как двумерный диск - это будет букет двух дисков (два диска, склеенных по точке).

Ну мы же убираем эту точку, и конус распадает на два диска, с дырками по центру.

[Deathrose]

Что непонятного во фразе "каждая точка должна иметь окрестность, гомеоморфную диску"? Когда мы проверяем на предмет топологического многообразия мы ничего не выбрасываем. Выбрасывание точки происходит потом, когда мы проверяем второй пункт.