Изображение оригинала

[GlazkovD]

Начал решать задачу из контрольной, дальше не могу сдвинуться.
[b] Найти изображение заданного оригинала

$$\int_{0}^{t} \frac {sin(7\tau) sin(3\tau)}{\tau} d\tau$$

Для начала тригонометрически раскрыл произведение синуслв
Получил

$$\int_{0}^{t} \frac {cos(4\tau) }{2\tau} d\tau$$

-

$$\int_{0}^{t} \frac {cos(10\tau) }{2\tau} d\tau$$

Далее хотел использовать 2 теоремы.
1) Если

$$f(t)$$

соответствует

$$F(p)$$

то

$$\int_{0}^{t} f(\tau) d\tau =\frac {F(p)} {p}$$

2) Если

$$f(t)$$

соответствует

$$F(p)$$

и интеграл сходится, то

$$\int_{p}^{\infty} F(\rho) d\rho $$

соответствует

$$\frac {f(t)} {t}$$

Оригинал

$$cos4\tau$$

$$\frac{p} {p^2 + 16}$$

Ну вот хотелось проинтегрировать

$$\int_{p}^{\infty} \frac{\rho} {\rho^2 + 16} d\rho $$

но интеграл не сходится.
А так все прекрасно начиналось . Получил бы этот интеграл, разделил бы его на

$$p$$

и пол задачи решено.

Не подскажете, что делать ?

[Narn]

Находите оригинал не от каждого из косинусов, деленных на тау, отдельно, а от разности. Тогда получите сходящийся интеграл.

[GlazkovD]

Спасибо. Процессс пошел

[ewert]

Narn писал(а):

Находите оригинал не от каждого из косинусов, деленных на тау, отдельно, а от разности. Тогда получите сходящийся интеграл.

Причём эта рекомендация -- никакой не трюк, а по существу. Исходный интеграл с только одним косинусом расходится в нуле, а с синусами -- нет. Поэтому разрывать разность косинусов нельзя. Именно из-за этого и возникли проблемы с последним интегралом.