Продолжение k-гладкой функции с полупространства

[vladg]

Задача следующая (Зорич, XII.3.5b):

Пусть $f \in C^{(k)}(H^n)$, где $H^n = \{x \in \mathbb{R}^n\ |\ x^1 \leqslant 0\}$. Доказать, что существует окрестность нуля $U$ и функция $F \in C^{(k)}(U)$, такая что $F|_{U \cap H^n} = f|_{U \cap H^n}$.

Единственное решение, которое я смог найти в Интернете, излагается на 27 (!) страницах здесь (теорема Уитни о продолжении): http://www.ams.org/journals/tran/1934-036-01/S0002-9947-1934-1501735-3/S0002-9947-1934-1501735-3.pdf. Правда, Уитни, конечно, решил гораздо более общую задачу. Естественно, таким вариантом я удовлетвориться не могу - это же всего лишь учебная задачка по матану из Зорича, какие, к чёрту, 27 страниц?

Собственными усилиями удалось только покрыть случаи k = 1 и отдельно n = 1. Для n = 1 достаточно продолжить функцию многочленом Тейлора для $f$ в нуле, то есть F(x) = \begin{cases} f(x), & x \leq 0 \\ \sum_{i=0}^k \frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i, & x > 0 \end{cases}

Для k = 1 подходит следующее продолжение: F(x^1, \overline{x}) = \begin{cases} f(x^1, \overline{x}), & x^1 \leq 0 \\ 2f(0, \overline{x}) - f(-x^1, \overline{x}), & x^1 > 0 \end{cases}


Спасибо.

[vpb]

Вы бы привели какую-нибудь попытку решения (согласно правилам форума). Хотя бы для $n=1$.

[vladg]

vpb в сообщении #1350944 писал(а):

Вы бы привели какую-нибудь попытку решения (согласно правилам форума). Хотя бы для $n=1$.

Исправил, извините, первая тема здесь. Задача не по университетской учёбе, я сам. Просто у Зорича её решение (точнее решение другого пункта этого задания, для которого нужна эта задача) неявно используется при изложении гладких многообразий с краем.

[DeBill]

vladg
А чем Вам не нравится ваше же первое решение (только - частную производную использовать)?
А можно и второе решение обобщить: продолжать линейной комбинацией значений в точках $(-\frac{mx_1}{k},\bar{x}),m=0,1,...,k$. Реально, Вы это и сделали (и это и есть "линейный оператор продолжения")

[vladg]

DeBill

Первое решение мне не нравится, потому что я не смог обобщить его на более высокие размерности. Если Вы имеете в виду продолжение

$$\sum_{i = 0}^{k} \frac{\partial^i f}{\partial (x^1)^i}(0, \overline{x}) \frac{(x^1)^i}{i!}$$

то у него, вообще говоря, даже нет нужного количества производных.

Ваше решение мне понравилось, спасибо. Только почему именно $-\frac{mx^1}{k}$, а не просто $-mx^1$?

[DeBill]

vladg в сообщении #1351049 писал(а):

то у него, вообще говоря, даже нет нужного количества производных.

А, да. МетОда прошла бы, если порядок производной определялся $\infty$-нормой мультииндекса (а не 1-нормой, как принято).

vladg в сообщении #1351049 писал(а):

почему именно $-\frac{mx^1}{k}$, а не просто $-mx^1$?

Конечно, можно. Да и любые другие - различные - тоже можно: там Ван дер Монд вылазит. Просто, когда эту конструкцию захочется на бесконечно-гладкий случай перенести, надо: чтоб точки далеко не убегали, и - чтоб ряды сходились. Вот тогда, такой выбор точек будет хорош. Вроде бы.

[vladg]

DeBill в сообщении #1351115 писал(а):

А, да. МетОда прошла бы, если порядок производной определялся $\infty$-нормой мультииндекса (а не 1-нормой, как принято).

Ну да, тоже об этом подумал, когда пытался решить

И Вы-таки всё это излагаете, как будто не сами только что придумали эту конструкцию (с линейной комбинацией). Это что-то известное?

[DeBill]

vladg в сообщении #1351186 писал(а):

Это что-то известное?

Да, где то когда то я это читал. И даже читал спецкурс по теме "гладкий анализ", и там рассказывал теорему Бореля (любой ряд есть чей-то ряд Тейлора. Это дает возможность бесконечно-гладкого продолжения - даже и в многомерном случае. Но такое продолжение - не линейно: сумма продолжается, вообще говоря, не суммой продолжений. И вот с целью построения линейного оператора продолжения, там - в книжке, и в моем спецкурсе - и рассматривались такие суммы. Правда, аккуратный анализ занимает довольно много (хотя и меньше 27) страниц. Я, помнится, даже и учебное пособие на эту тему начинал писать - но не довел до ума. И книжку (ссылку) - не, не помню...

[g______d]

DeBill в сообщении #1351231 писал(а):

И книжку (ссылку) - не, не помню...

Глава VI книги Стейна "Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций".

Там есть несколько вариантов, и все они довольно полезные.

[vladg]

Спасибо, DeBill и g______d.