Ряд для π/8

[JohnDou]

Покажите что
$\frac{\pi}{8}=\frac{\arctg(8)-\ln(2)}{2}+\frac{1}{3}\left( \frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}\right)+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{3^7}+\frac{1}{5^7}+\frac{1}{7^7}\right)+\frac{1}{11}\left( \frac{1}{3^{11}}+\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{7^{11}}\right)+... $

[JohnDou]

(Подсказка 1)

$\sum _{k=1}^4\arctg \left ( \frac{1}{2k-1} \right )=\arctg(8)$

А как определить: задачу не решают потому что она скучная, или потому что сложная?

[wrest]

JohnDou
Мне кажется, что задаче не хватает какой-то красоты, что ли. То есть, скорее скучная.
Хотя лично для меня и сложная тоже -- надо гуглить как чего раскладывается, раскладывать, приводить... Ну хотя это тоже, пожалуй, в раздел "скучности" наверное.

[JohnDou]

wrest

... а как её можно улучшить?

(Оффтоп)

Да, мне тоже предыдущий ряд нравился больше. Но посмотрите на скорость сходимости! первых два (шесть) членов уже дают точное значение до 1000-ых(или 100-ых?)

[wrest]

JohnDou в сообщении #1350062 писал(а):

Но посмотрите на скорость сходимости!

А я и посмотрел. Увидел что да, сходится и да, довольно быстро.

JohnDou в сообщении #1350062 писал(а):

... а как её можно улучшить?

Не знаю, ну и я ж не один тут.
Меня смутили арктангенс и логарифм, как бы сразу стало понятно что должно к чему-то этакому сойтись. Просматриваются пять рядов, выписываем их и должно сократиться что-то. То есть план решения как бы сразу возник.
Может, не надо было писать к чему именно сходится, а просто спросить к чему.

[RIP]

Задача решается в лоб. Просто

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{4n+3}=\int_{0}^{x}\frac{t^2\mathrm{d}t}{1-t^4}=\frac{1}{4}\ln\frac{1+t}{1-t}-\frac{1}{2}\arctg x.$$

Дальше сумму арктангенсов сворачиваем в один арктангенс.

Либо

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{4n+3}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}f\left(x\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/4}\right)\mathrm{e}^{-6\pi\mathrm{i}k/4},\qquad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x),$$

если не лень возиться с комплексными числами.

[JohnDou]

RIP,

Хорошая работа!

Говоря о комплексных числах, а корни у этого чуда есть?

(Оффтоп)

Согласитесь, так смотрится эстетичнее: $\frac{1}{4}\ln n -\frac{1}{2}\sum _2^n\arctg \frac{1}{2k-1}=\frac{1}{3}\sum _2^n\frac{1}{(2n-1)^3}+\frac{1}{7}\sum _2^n\frac{1}{(2n-1)^7}+...$
Из этого так же не сложно показать что ряд из сумм обратных нечётных степеней расходится.

wrest,

вот как раз и хотел увидеть прямое док-во. Ладно, ваши замечания учту.

(Оффтоп)

Эх, и никому не нужна вычислительная Математика...

[RIP]

JohnDou в сообщении #1350107 писал(а):

Говоря о комплексных числах, а корни у этого чуда есть?

Стандартный трюк: если $f(z)=\sum c_nz^n$, $m\in\mathbb{N}$, $l\in\mathbb{Z}$, то

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}f\left(z\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/m}\right)\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}kl/m}=\sum_{n\equiv l\mkern6mu(\mathrm{mod}\mkern6mu m)}c_nz^n.$$

Следует из

$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}ak/m}=\begin{cases}1,&m\mid a,\\0,&m\nmid a.\end{cases}$$

Или я не о том?

[Lia]

JohnDou
Я уже не раз правила red-шрифт в Ваших сообщениях, правилами форума зарезервированный для модераторов. Используйте другие цвета, если так нужно. Замечание за нарушение п. I.1.з.

Шрифт исправлен.

[JohnDou]

RIP,
что-то не сразу вспомнил что арктангенс - это комплексный логарифм (а ведь сам выводил! ). У него не более одного корня, следовательно, и у этого выражения тоже.
Насчёт подхода, хотел получить разложение на множители. Вами написанное позволит это сделать? (скажите просто да/нет. Дальше разберусь.). У меня где-то табличка валяется, где каждая элементарная функция расписана в виде $f(x+iy)=g(x,y)+ih(x,y)$, и я так делаю: нахожу корни для $g$ и $h$, смотрю какие совпадают.

Lia,

(Оффтоп)

Если он "зарезервирован" то почему доступен? Или это была какая-то проверка которую я не прошёл?

(Оффтоп)

Lia: вероятно, потому что эти три буквы есть на клавиатуре. Наличие не тех букв на клавиатуре представляет собой одну из основных проблем модерирования.

[JohnDou]

JohnDou в сообщении #1350718 писал(а):

... У него не более одного корня, следовательно, и у этого выражения тоже...

Неа, не правда.