2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ряд для π/8
Сообщение27.10.2018, 23:04 
Аватара пользователя


20/07/18
103
Покажите что
$\frac{\pi}{8}=\frac{\arctg(8)-\ln(2)}{2}+\frac{1}{3}\left( \frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+\frac{1}{7^3}\right)+\frac{1}{7}\left(\frac{1}{3^7}+\frac{1}{5^7}+\frac{1}{7^7}\right)+\frac{1}{11}\left( \frac{1}{3^{11}}+\frac{1}{5^{11}}+\frac{1}{7^{11}}\right)+...
$

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 18:34 
Аватара пользователя


20/07/18
103

(Подсказка 1)

$\sum _{k=1}^4\arctg \left ( \frac{1}{2k-1} \right )=\arctg(8)$

А как определить: задачу не решают потому что она скучная, или потому что сложная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 19:02 


05/09/16
6450
JohnDou
Мне кажется, что задаче не хватает какой-то красоты, что ли. То есть, скорее скучная.
Хотя лично для меня и сложная тоже -- надо гуглить как чего раскладывается, раскладывать, приводить... Ну хотя это тоже, пожалуй, в раздел "скучности" наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 19:15 
Аватара пользователя


20/07/18
103
wrest

... а как её можно улучшить?

(Оффтоп)

Да, мне тоже предыдущий ряд нравился больше. Но посмотрите на скорость сходимости! первых два (шесть) членов уже дают точное значение до 1000-ых(или 100-ых?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 20:22 


05/09/16
6450
JohnDou в сообщении #1350062 писал(а):
Но посмотрите на скорость сходимости!

А я и посмотрел. Увидел что да, сходится и да, довольно быстро.
JohnDou в сообщении #1350062 писал(а):
... а как её можно улучшить?

Не знаю, ну и я ж не один тут.
Меня смутили арктангенс и логарифм, как бы сразу стало понятно что должно к чему-то этакому сойтись. Просматриваются пять рядов, выписываем их и должно сократиться что-то. То есть план решения как бы сразу возник.
Может, не надо было писать к чему именно сходится, а просто спросить к чему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 21:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3592
Задача решается в лоб. Просто
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{4n+3}=\int_{0}^{x}\frac{t^2\mathrm{d}t}{1-t^4}=\frac{1}{4}\ln\frac{1+t}{1-t}-\frac{1}{2}\arctg x.$$
Дальше сумму арктангенсов сворачиваем в один арктангенс.

Либо
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{4n+3}}{4n+3}=\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3}f\left(x\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/4}\right)\mathrm{e}^{-6\pi\mathrm{i}k/4},\qquad f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x),$$
если не лень возиться с комплексными числами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение29.10.2018, 22:56 
Аватара пользователя


20/07/18
103
RIP,

Хорошая работа! :appl: :appl: :appl:

Говоря о комплексных числах, а корни у этого чуда есть?

(Оффтоп)

Согласитесь, так смотрится эстетичнее: $\frac{1}{4}\ln n -\frac{1}{2}\sum _2^n\arctg \frac{1}{2k-1}=\frac{1}{3}\sum _2^n\frac{1}{(2n-1)^3}+\frac{1}{7}\sum _2^n\frac{1}{(2n-1)^7}+...$
Из этого так же не сложно показать что ряд из сумм обратных нечётных степеней расходится.


wrest,

вот как раз и хотел увидеть прямое док-во. Ладно, ваши замечания учту.

(Оффтоп)

Эх, и никому не нужна вычислительная Математика...

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение30.10.2018, 00:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3592
JohnDou в сообщении #1350107 писал(а):
Говоря о комплексных числах, а корни у этого чуда есть?
Стандартный трюк: если $f(z)=\sum c_nz^n$, $m\in\mathbb{N}$, $l\in\mathbb{Z}$, то
$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}f\left(z\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}k/m}\right)\mathrm{e}^{-2\pi\mathrm{i}kl/m}=\sum_{n\equiv l\mkern6mu(\mathrm{mod}\mkern6mu m)}c_nz^n.$$
Следует из
$$\frac{1}{m}\sum_{k=0}^{m-1}\mathrm{e}^{2\pi\mathrm{i}ak/m}=\begin{cases}1,&m\mid a,\\0,&m\nmid a.\end{cases}$$
Или я не о том?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение30.10.2018, 05:10 
Модератор


20/03/14
9675
 !  JohnDou
Я уже не раз правила red-шрифт в Ваших сообщениях, правилами форума зарезервированный для модераторов. Используйте другие цвета, если так нужно. Замечание за нарушение п. I.1.з.

Шрифт исправлен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение01.11.2018, 09:58 
Аватара пользователя


20/07/18
103
RIP,
что-то не сразу вспомнил что арктангенс - это комплексный логарифм (а ведь сам выводил! :facepalm: ). У него не более одного корня, следовательно, и у этого выражения тоже.
Насчёт подхода, хотел получить разложение на множители. Вами написанное позволит это сделать? (скажите просто да/нет. Дальше разберусь.). У меня где-то табличка валяется, где каждая элементарная функция расписана в виде $f(x+iy)=g(x,y)+ih(x,y)$, и я так делаю: нахожу корни для $g$ и $h$, смотрю какие совпадают.

Lia,

(Оффтоп)

Если он "зарезервирован" то почему доступен? Или это была какая-то проверка которую я не прошёл?

 i 

(Оффтоп)

Lia: вероятно, потому что эти три буквы есть на клавиатуре. Наличие не тех букв на клавиатуре представляет собой одну из основных проблем модерирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ряд для π/8
Сообщение01.11.2018, 11:20 
Аватара пользователя


20/07/18
103
JohnDou в сообщении #1350718 писал(а):
... У него не более одного корня, следовательно, и у этого выражения тоже...

Неа, не правда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group