"Задача о встрече" в общем виде

[egslava]

Здравствуйте!
В Теории Вероятностей есть классическая задача:

Цитата:

Два студента условились встретиться в определённом месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих студентов, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение, думаю, тут знают многие.

Вопрос: есть ли решения/готовые формулы для обобщения этой задачи:

Цитата:

N студентов условились встретиться в определённом месте в течение L часов. Пришедший первым ждёт других в течение M минут, после чего уходит...

Хотелось бы ещё как-то иметь возможность "повертеть" задачу: что встретятся хотя бы 2,3,4 из N студентов и т.п. Т.е. что можно почитать именно об этой задаче?

Заранее спасибо.

[arseniiv]

(Давайте уж тогда $L$ и $M$ в одинаковых единицах измерять как минимум.)

-- Пт дек 29, 2017 18:13:29 --

Вообще тут особо думать не надо, тут надо выписывать. Чуть проще была бы задача с «зацикленным временем» — как только $L$ времени истекает, всё мгновенно перематывается на начало с сохранением у всех памяти (иначе, кидаем на окружность жучков, которые чувствуют других на некотором одинаковом расстоянии, и спрашиваем, когда все из них или какое-то иное количество друг друга почувствуют).

[Rob123]

Да, есть такая задача у Гмурмана для двух человек. Будучи студентом она меня несколько удивила: ответов может быть НЕСКОЛЬКО, в зависимости от того случайно/неслучайно каждый выбирает время встречи, пытается максимизировать/минимизировать вероятность встречи. Возможны спекуляции по типу: 1й знает, что 2й хочет увеличить вероятность встречи и в свою очередь пытается ее увеличить и так далее. Тогда каждый выбирает время ближе к 12.30 и вероятность встречи 100%.
Классический ответ p=1-(1-0.25)^2=43,75%. Однако если бы я встречался, например, с кредитором (который выбирает время встречи случайно), то приходил бы в последнюю минуту (секунду) часа, тогда вероятность встречи примерно 25 %.

[mustang]

Ну для двух человек задача решается геометрически на единичном квадрате - площадь диагональной полоски. Строится элементарно: проводим диагональ снизу-слева вверх-вправо. Сдвигаем диагональ вверх на долю ожидания одного человека - это будет одна граница, и вправо на долю ожидания второго человека - это вторая граница. Дальше считаем площадь фигуры - вероятность встретиться (площадь квадрата равна 1).

Для трёх - куб (пересечение трёх "пластинок") и так далее.

Причём можно назначать каждому человеку свою длительность ожидания - "полоска" будет несиметрична относительно диагонали.

Для вариаций $m$ из $n$ - обычная задача, поскольку все вероятности известны.

Ну, можно, конечно, поразвлекаться и вывести общую формулу . Но как-то лень