Норма блочной матрицы

[Andrey_Kireew]

Уважаемые участники. Возник такой вопрос.
Известно,что норма блочной матрицы ограничена
$\left\lVert\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & A \end{pmatrix}^{-1}\right\lVert $$\leqslant 1$
где $I$ - единичная матрица, $A$ - произвольная матрица.

Можно ли как то оценить норму обратной матрицы $A^{-1}$, или хотя бы норму матрицы $A$ ?

[Null]

$\left\lVert\begin{pmatrix} I & 0\\ 0 & A \end{pmatrix}^{-1}\right\lVert $$\leqslant 1$
Это не похоже на правду.

$A$ - произвольная матрица. Про нее неизвестно ничего.
Можно ли как то оценить норму обратной матрицы $A^{-1}$, или хотя бы норму матрицы $A$ ?

[Andrey_Kireew]

Да, действительно, допустил неточность, правильно так:
$\left\lVert\begin{pmatrix} I & 0\\ L & A \end{pmatrix}^{-1}\right\lVert $$\leqslant 1$
где $I$ - единичная матрица, $A$ - квадратная матрица, $L$ - произвольная матрица (не нулевая).

но вопрос остаётся тот же, т.е. про матрицу $A$.

[Евгений Машеров]

Null в сообщении #1350443 писал(а):

Это не похоже на правду.

Я понял так, что это заданное условие, исходя из которого хотят оценить норму матрицы A или обратной к ней.

[dsge]

Пусть А диагональная матрица с 0.5 на диагонале, а $L$ - произвольная матрица с очень маленькими элементами. (Под нормой понимается операторная норма?).

[ewert]

Надо полагать, что имеется в виду операторная норма матрицы; но всё равно остаётся вопрос: какая именно из операторных?

[Andrey_Kireew]

Судя по всему это матричная $\infty$ - норма,
но $A$ никак не диагональная (это просто положительная матрица)

[ewert]

Если это равномерная норма (или вообще любая $l_p$-норма), то всё представляется довольно очевидным. Пусть $\vec x=\begin{pmatrix}\vec y\\\vec z\end{pmatrix}$ (блоки столбца отвечают блокам матрицы). Тогда исходное предположение означает следующее:

$\|\vec y\|_p^p+\|\vec z\|_p^p=1 \Rightarrow\ \|\vec y\|_p^p+\|\vec L\vec y+A\vec z\|_p^p\geqslant1.$

В частности, при $\vec y=\vec0$ получаем $\|\vec z\|_p=1\ \Rightarrow\ \|A\vec z\|_p\geqslant1$, т.е. $\|A^{-1}\|_p\leqslant1$ и, соответственно, $\|A\|_p\geqslant1$ (т.к. всегда $\|A\|\geqslant\frac1{\|A^{-1}\|}$). А больше вряд ли что скажешь.

[Andrey_Kireew]

Спасибо! вроде немного разобрался