Задачи олимп. "Я - профессионал" (М и Ф)

[JohnDou]

Такие задачи предлагались как подготовительные для начального этапа(M):

Цитата:

1) Найдите размерность ядра линейного отображения, если его матрица в некотором базисе имеет вид:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 2& -1&3 & 4\\ 3 & -4& 0& 5 &-1 \\ -1 & 8 &-2 & 1& 9 \end{bmatrix} $$

Цитата:

2) В пространстве многочленов степени не выше 2 заданы два базиса: $(f_1,f_2,f_3)$ и $(g_1,g_2,g_3)$. Составьте матрицу перехода от базиса $(f_1,f_2,f_3)$ к базису $(g_1,g_2,g_3)$. В ответ запишите детерминант этой матрицы, умноженной на 3, если: $f_1=3, f_2=1-t, f_3=t+t^2, g_1=(t+2)^2, g_2=(t-2)^2, g_3=(t+1)$

Цитата:

3) Найдите значение параметра $a$, при котором справедливо соотношение:
$6e^{\sin t}+at^3=6e^{\sh t}+o(t^3), t\rightarrow 0$

Цитата:

4) Найдете площадь области комплексной плоскости, ограниченной кривой:
$\left | \frac{z+2i}{z-3i} \right |=0$
В ответе укажите площадь, умноженную на $\frac{147}{\pi}$

Цитата:

5) Найдите сигнатуру квадратичной формы:
$x_1x_2+2x_2x_3-x_3x_4$

Цитата:

6) Известно, что каждая из функций y=5x, y=3x+3 является решением уравнения:
$(3x-4x^2)y''+(6-4x)y'+4y=30, x>\frac{3}{4}$
Пусть f(x) - решение задачи Коши.
$(3x-4x^2)y''+(6-4x)y'+4y=30, y(1)=4, y'(1)=6$
Найдите $f(2)$

Цитата:

7) Регулярная функция f(z) удовлетворяет условиям
$f(1)=-4, \operatorname{Im} f(z)=3x^2y-y^3-10xy, x=\operatorname{Re}(z), y=\operatorname{Im}(z)$
Найдите $f(2)$

Цитата:

8) Найдете площадь области, ограниченной параболой $y=x^2-2$ и наклонной асимптотой к графику функции $y=\sqrt{x^2+4x}+2$ при $x\rightarrow \infty$. В ответ укажите площадь, умноженную на 6.

Цитата:

9) Вычислите поверхностный интеграл
$\int_S \int (y^2-\cos z)dydz+(x^2-\sin(z))dzdx+(\cos x - \cos(y))dxdy$
где S - эллипсоид $\frac{x-1^2}{8}+\frac{y-2^2}{4}+\frac{z-3^2}{2}=5$, ориентированный внешней нормалью.

Цитата:

10) Найдите все действительные значения х, при которых сходится ряд
$\sum _{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}\left ( \frac{x^2+9}{10x} \right )^n$
В ответе укажите меру Жордана полученного множества.

--------------------------------------------------------------
На начальном этапе(M) предлагались:

Цитата:

1) Пусть $l_1$ и $l_2$ - прямолинейные образующие параболоида $\frac{y^2}{4}-z^2=2x$, пересекающиеся в точке M (0; 4; -2). Плоскость П проходит через $l_1$ и $l_2$. Найдите расстояние от точки N (2; 3; 4) до плоскости П. Ответ округлите до сотых. Система координат декартова прямоугольная. При получении в ответе дроби вводить её с точностью до второго знака, при получении целого - без дробной части.

Цитата:

2) Дана квадратная матрица размера 2017:

$$ A=\begin{pmatrix} 8 & 4 & 0 & 0 &... & 0& 0\\ 4 & 8 & 4& 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & 4 & 8& 4 & ... & 0 &0 \\ & & ......& & & & \\ 0& 0& 0 & 0 &... &8 &4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 &... & 4& 8 \end{pmatrix} $$

Найдите $\log_4\det A$. Ответ округлите до сотых.

Цитата:

3) При каком значении параметра t вектор

$$ \bar{a}=\begin{pmatrix} 3t\\ t\\ 3 \end{pmatrix} $$

является собственным вектором преобразования, заданного матрицей

$$ \begin{pmatrix} -3 & 3 &-6 \\ 0 & -6 & 6\\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} $$

?

Цитата:

4) Известно, что для некоторых чисел A и B выполнено соотношение
$Ae^{-2x}+B\sqrt[3]{1+3x}=12+8x^3+o(x^3)$ при $x\rightarrow 0$.
Найдите $A^2-B^2$.

Цитата:

5) Найдите предел
$\lim _{x\rightarrow 1}\frac{x^{120}-7140x^2+14160x-7021}{x^{50}-1225x^2+2400x-1176}$
Ответ округлите до второго знака после запятой.

Цитата:

6) Вычислите интеграл
$\int _\Gamma x^2 ds,$
где $\Gamma$ - окружность $x^2+y^2+z^2=9, x+y+2z=0.$Ответ округлите до сотых.

Цитата:

7) Пусть $y(x)$ - действительное решение уравнения $y''+4y=16x\cos 2x$. Найдите наибольшее возможное значение предела последовательности
$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{y\left ( 2\pi n+\frac{3\pi}{4} \right )}{(2\pi n)^2}$

Цитата:

8) На первой клумбе растут 16 синих и 4 красных цветка, а на второй – 11 синих и 19 красных. Для того, чтобы сплести венок, фрёкен Бок сорвала 11 цветов с первой клумбы и 4 цветка со второй (цветы выбираются наугад) и опрометчиво положила их на подоконник. Карлсону удалось незаметно подлететь к открытому окну и взять два цветка. Какова вероятность того, что эти два цветка росли на разных клумбах, если оказалось, что они оба красные? Ответ округлите до третьего знака после запятой.

Цитата:

9) Функция

$$ f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\alpha \ln x}{x^4}, &x\geq 1 \\ 0, & x<1 \end{matrix}\right. $$

является плотностью распределения некоторой случайной величины $\xi$ . Найдите параметр $\alpha$ и дисперсию случайной величины $\xi$. В ответе укажите дисперсию. При получении в ответе конечной десятичной дроби указать её полностью, бесконечной - округлить до третьего знака после запятой.

Цитата:

10) Найдите изменение аргумента функции
$f(z)=\frac{z^8+6z^4+25}{1+\ch(7z)}$
вдоль окружности $|z|=5$, ориентированной против часовой стрелки. В ответе укажите найденное изменение аргумента, умноженное на $6/\pi$.

-----------------------------------------------------------------
Физика. Начальный этап.

Цитата:

1) Тонкостенная труба радиуса r = 1 м без проскальзывания катится по горизонтальной плоскости, которая плавно переходит в загнутую вверх цилиндрическую поверхность радиуса R = 3 м. При какой начальной скорости трубы v она сможет докатиться до наивысшей точки цилиндрической поверхности ? Ответ приведите в СИ с точностью до 0,1 м/с. g = 9,8 м/с$^2$
. Трение качения отсутствует. Примечание: единицы измерения вводить не нужно.

Цитата:

2) Вылетевший с малой начальной скоростью с катода электронной пушки электрон начинает ускоряться в однородном электрическом поле напряжённостью 10 В/см. Через какое время его кинетическая энергия в 3 раза превысит его энергию покоя, равную 512 КэВ? Ответ дать в микросекундах с точностью до 0,1 мкс.
Примечание: единицы измерения вводить не нужно.

Цитата:

3) Сосуд с идеальным газом разделён на две части теплонепроницаемой перегородкой. В перегородке есть небольшое отверстие, размером меньше длины свободного пробега молекул. В разделённых частях сосуда поддерживаются разные температуры, при этом оказалось, что установившееся давление газа в первой части больше давления во второй в 2,5 раза. Найдите $v_1/v_2$ — отношение средних модулей скоростей молекул в разделённых частях сосуда. Ответ приведите с точностью до 0,1.

Цитата:

4) Магнитное поле Земли в некотором приближении может быть описано полем точечного магнитного диполя $p$, расположенного в центре Земли. Считая, что диполь $p$ направлен от северного к южному географическому полюсу, выясните, как угол $\alpha$ наклона магнитного поля к горизонту (магнитное наклонение) связан с географической широтой $\varphi$. Какой угол с горизонтом (с точностью до $1^{\circ}$) образуют силовые линии магнитного поля в Новосибирске, расположенном на широте $\varphi = 55^{\circ}$ с.ш. Примечание: единицы измерения вводить не нужно.

Цитата:

5) В последовательном RLC-контуре максимальное напряжение на конденсаторе $U_c$ = 100 В достигается при частоте источника переменной э.д.с. $f$ = 5000 Гц, при этом напряжение на выходе источника 0,1 В. Насколько, не меняя напряжения источника, надо увеличить его частоту, чтобы напряжение на конденсаторе упало до 70,7 В? Ответ приведите в герцах с точностью до 0,1 Гц.
Примечание: единицы измерения вводить не нужно.

Цитата:

6) Плоская линейно поляризованная монохроматическая волна с интенсивностью $I_0$ падает на экран с кольцеобразными отверстиями, открывающими для некоторой точки за экраном зоны Френеля с номерами $n_1=2$ и $n_2=5$, при этом зона с меньшим номером прикрыта пластинкой $\lambda /2$, главные оси которой составляют угол $45^{\circ}$ с плоскостью поляризации волны. Интенсивность света в точке наблюдения оказалась равна $I$. Определите отношение $I/I_0$.

Цитата:

7) На поверхность жидкости падает луч неполяризованного света, угол падения равен $\alpha= 55^{\circ}$. Угол между преломлённым и отражённым лучами оказался равен $90^{\circ}$. Найдите степень поляризации света в преломлённом луче. Ответ приведите с точностью до 0,01.

Цитата:

8) Вследствие повышения температуры положение максимума спектральной энергетической светимости абсолютно черного тела переместилось с $\lambda_1$ на $\lambda_2=\lambda_1/2$. Во сколько раз изменилась его интегральная энергетическая светимость? Ответ приведите с точностью до 0,1.

Цитата:

9) С поверхности Луны вертикально вверх запускается ракета, причём её скорость в 1,15 раз больше первой «лунной» космической скорости. Найдите отношение максимальной высоты подъёма ракеты над лунной поверхностью к радиусу Луны. Ответ приведите с точностью до 0,01.

Цитата:

10) В лифте, опускающемся вниз со скоростью $v$ = 0,1 м/с, к потолку прикреплена пружина, на которой висит груз. Под весом груза пружина удлинилась на 10 см. Найдите амплитуду колебаний груза после резкой остановки лифта. $g=$ 9,8 м/с$^2$. Сила растяжения пружины линейно зависит от её удлинения. Ответ приведите в сантиметрах с точностью до 0,1 см.
Примечание: единицы измерения вводить не нужно.

-----------------------------------------------------------------

Заключительный вместе с решениями:
М: https://m.youtube.com/watch?v=LriNTQmhqRs
Ф: https://m.youtube.com/watch?v=l46i0PTaNQQ

[Ioda]

В 5-ом вроде по Лопиталю 2,4 без округлений выходит. Где-то не разглядел подвох?

[realeugene]

Физические задачи выглядят как несложные задачи на применение пары формул из курса общей физики. Разумеется, нужно знать соответствующую тему.

[Pphantom]

realeugene в сообщении #1349959 писал(а):

Физические задачи выглядят как несложные задачи на применение пары формул из курса общей физики. Разумеется, нужно знать соответствующую тему.

Пожалуй, это даже не общая физика, а курс физики сильной физматшколы. Задачи формально выходят за рамки школьной программы, но в основном из-за матаппарата, который номинально в школе не изучается (хотя в специализированных школах все это проходят).

Ну и с аккуратностью у составителей не все хорошо. Понятно, что утверждения вроде

JohnDou в сообщении #1349780 писал(а):

его энергию покоя, равную 512 КэВ?

на суть задачи не влияют, но...

[realeugene]

Pphantom в сообщении #1349962 писал(а):

Задачи формально выходят за рамки школьной программы,

Так и олимпиада вроде бы для студентов.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1349962 писал(а):

Пожалуй, это даже не общая физика, а курс физики сильной физматшколы. Задачи формально выходят за рамки школьной программы, но в основном из-за матаппарата, который номинально в школе не изучается (хотя в специализированных школах все это проходят).

В самом деле? И СТО, и зоны Френеля, и поле диполя, и резонанс в контуре, и формулы Френеля для преломления света, и формулу Планка?

Я даже не буду спрашивать, как всё это удаётся пройти в школе. Я просто удивляюсь, а чего потом в вузе делать, после такой школы?

[JohnDou]

Ioda в сообщении #1349835 писал(а):

В 5-ом вроде по Лопиталю 2,4 без округлений выходит. Где-то не разглядел подвох?

Похоже что вы ошиблись в расчетах, но да, идея верная: трижды Лопиталя-Бернулим и получаем $\frac{120\cdot 119\cdot 118}{50\cdot 49 \cdot 48}$

Первое что бросилось в глаза это то, что 98% материала вижу впервые то, что основная сложность в количестве знаний, необходимых для прочтения/решения задач. Впрочем, оно вроде и не удивительно: олимпиада-то рассчитана на выпускников бакалавриата а я только 1,5 курса закончил. Раньше ещё была возможность скачать pdf с подготовкой для зак.этапа, сейчас почему-то ссылку убрали (или у меня какие-то проблемы). Там было интереснее, но, тоже не очень на олимпиаду похоже. В тех же "Зарубежных Олимпиадах" задачи, как мне показалось, сложнее. Впрочем, я на начальном этапе просел, так что...

Ещё можно заметить что ни на нач.этап. и на зак. нет задач на док-во. Так что она, наверное, больше на прикладников рассчитана.

[g______d]

Цитата:

Найдите размерность ядра линейного отображения, если его матрица в некотором базисе имеет вид

Они бы ещё в столбик два числа попросили умножить. Олимпиада, блин.

[Pphantom]

realeugene в сообщении #1349963 писал(а):

Так и олимпиада вроде бы для студентов.

Так ведь она вроде должна быть для студентов старших курсов бакалавриата, а не для первокурсников.

Munin в сообщении #1349968 писал(а):

В самом деле? И СТО, и зоны Френеля, и поле диполя, и резонанс в контуре, и формулы Френеля для преломления света, и формулу Планка?

В общем да - в том объеме, в котором это тут нужно. Пожалуй, за исключением формулы Френеля (что снимает одну задачу). Не всегда это изучение приводит к четкому пониманию, что происходит (и, пожалуй, в целом это скорее вредно, чем полезно), но гонка за олимпиадами приводит к тому, что это вопросы рассматриваются.

[Munin]

Феерия. Назовите такую школу.

[Xaositect]

У нас в СУНЦ были зоны Френеля, резонанс и диполи.

[Munin]

Но всё же не всё вместе.

[g______d]

Как минимум в один год в одном классе АГ (45 интернат) всё это проходилось; настолько, что эти задачи могли бы быть на уроках.

[Pphantom]

Munin в сообщении #1350073 писал(а):

Феерия. Назовите такую школу.

Для Петербурга - 239, ФТШ, отдельные классы 30 и ЮМШ, иногда и в других местах бывает.

[fred1996]

Pphantom в сообщении #1350083 писал(а):

Munin в сообщении #1350073 писал(а):

Феерия. Назовите такую школу.

Для Петербурга - 239, ФТШ, отдельные классы 30 и ЮМШ, иногда и в других местах бывает.

А 45 интернат еще существует?
В мое время (70-е годы) фактически только 239, 30, 45 и ЮФШ-ЮМШ боролись за призовые места в городских олимпиадах.
Зато многие из выпускников потом вылетали после первого курса университета, бия баклуши в первом семестре и не сумев настроиться на серьезный лад во втором.
Лично я помню в 9-10 классе регулярно посещал вечерами ЮФШ при ЛГУ. Три раза в неделю по 2-4 часа. Помню ездил даже чуть ли не с воспалением легких. Преподавали у нас как правило аспиранты-подвижники с Физфака.
Особенно запомнились занятия А.Д. Авдеева и Маниды.