2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Доказать целочисленность элементов последовательности
Сообщение29.10.2018, 00:36 


13/10/18
13
Никак не могу подойти к решению этой задачи:
$x_{n+1}=\frac{k+x_{n}^2}{x_{n-1}}$
где $x_{0}=x_{1}=1$, а $k$ - натуральное число (произвольное, не зависит от $n$)
Доказать, что все элементы - это целые числа.

Я пробовал расписывать первые 6 членов ($n=6$), искать какие-то закономерности. Только убедился в их целочисленности. Подскажите хотя бы, в каком направлении думать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать целочисленность елементов последовательности
Сообщение29.10.2018, 00:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
Omrib1 в сообщении #1349862 писал(а):
k - натуральное число
Любое? Оно постоянное, или как-то зависит от $n$, или его можно выбирать на каждом шаге произвольно? Кстати, буковку "k" следовало окружить знаками доллара, как и прочие формулы.

Omrib1 в сообщении #1349862 писал(а):
первые 5,6 членов
Первые пять целых шесть десятых членов???

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать целочисленность елементов последовательности
Сообщение29.10.2018, 01:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Omrib1
Линейные реккурентные посл-ти (с хар. уравнением типа $\lambda^2 - K\lambda +1$) обладают похожими свойствами...
Мораль: попробуйте подобрать такое целое $K$, что Ваша посл-ть задается равенствами $x_{n+1} = Kx_n - x_{n-1}$ (и докажите совпадение индукцией)

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказать целочисленность елементов последовательности
Сообщение29.10.2018, 01:11 


13/10/18
13
Извиняюсь за неточность. $k$ - любое постоянное натуральное число, не зависящее от $n$. Я находил до $x_{6}$ по рекурентной формуле, выражая через $k$

-- 29.10.2018, 00:37 --

DeBill
Спасибо большое за интересный подход. Все получилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group