Доказать целочисленность элементов последовательности

[Omrib1]

Никак не могу подойти к решению этой задачи:
$x_{n+1}=\frac{k+x_{n}^2}{x_{n-1}}$
где $x_{0}=x_{1}=1$, а $k$ - натуральное число (произвольное, не зависит от $n$)
Доказать, что все элементы - это целые числа.

Я пробовал расписывать первые 6 членов ($n=6$), искать какие-то закономерности. Только убедился в их целочисленности. Подскажите хотя бы, в каком направлении думать?

[Someone]

Omrib1 в сообщении #1349862 писал(а):

k - натуральное число

Любое? Оно постоянное, или как-то зависит от $n$, или его можно выбирать на каждом шаге произвольно? Кстати, буковку "k" следовало окружить знаками доллара, как и прочие формулы.

Omrib1 в сообщении #1349862 писал(а):

первые 5,6 членов

Первые пять целых шесть десятых членов???

[DeBill]

Omrib1
Линейные реккурентные посл-ти (с хар. уравнением типа $\lambda^2 - K\lambda +1$) обладают похожими свойствами...
Мораль: попробуйте подобрать такое целое $K$, что Ваша посл-ть задается равенствами $x_{n+1} = Kx_n - x_{n-1}$ (и докажите совпадение индукцией)

[Omrib1]

Извиняюсь за неточность. $k$ - любое постоянное натуральное число, не зависящее от $n$. Я находил до $x_{6}$ по рекурентной формуле, выражая через $k$

-- 29.10.2018, 00:37 --

DeBill
Спасибо большое за интересный подход. Все получилось.