Однородное уравнение Фредгольма первого рода

[g______d]

thething в сообщении #1349157 писал(а):

Вы имеете ввиду метод производящих функций?

Нет, я просто имею в виду определение собственной функции. Традиционно в функциональном анализе собственной функцией оператора $K\colon L_2[a,b]\to L_2[a,b]$ называется ненулевая функция $f\in L_2[a,b]$, такая что $Kf=\lambda f$ для некоторого скаляра $\lambda$: по аналогии с собственными векторами матриц. Если такие $f$ и $\lambda$ существуют, то $\lambda$ называется собственным значением.

Если $K$ самосопряжён, то можно считать, что $\lambda\in \mathbb R$. В данном случае $(Kf)(x)=\int_a^b K(x,t)f(t)\,dt$. У любого компактного самосопряжённого оператора (в частности, у любого интегрального оператора с непрерывным симметричным ядром) существует полная ортонормированная система собственных функций в $L_2[a,b]$. Это частный (простой) случай спектральной теоремы, и является прямым обобщением теоремы о существовании базиса из собственных векторов самосопряжённой матрицы. При этом в обоих случаях ничто не мешает иметь $\lambda=0$.

В формулировке теоремы, которую Вы привели, определение собственной функции другое: вместо $Kf=\lambda f$ должно быть $\mu Kf=f$, и $\mu$ называется характеристическим числом. Фактически это означает, что собственными функциями мы называет только те функции, для которых $Kf=\lambda f$ с $\lambda\neq 0$. Для матриц это бы означало, что мы не считаем собственными векторами собственные вектора, отвечающие нулевому собственному значению. В такой формулировке они действительно могут быть не полны, и отсутствие их полноты ведёт к неединственности решения.

Но: в функциональном анализе такое определение сейчас не является общепринятым. Оно сохранилось в некоторых учебниках интегральных уравнений в силу исторических причин. Я должен был уточнить, прежде чем заявлять так прямо, что само утверждение неверно.

[thething]

Ну да, я, говоря о характеристических числах, имею ввиду $\lambda\ne 0$... То, что в теории интегральных уравнений определяется. Ладно, всё прояснилось, не надо было по памяти воспроизводить, конечно).