Однородное уравнение Фредгольма первого рода

[anotheruser]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, с решением однородного интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром, которое зависит от модуля разности аргументов

$$\int\limits_{-1}^{1}K(|x-y|)\varphi(y)dy=0,$$

причём известно, что $K(|x|)>0$, т.е. ядро положительно.
Точный вид ядра вычислить не получается, но, грубо говоря, ядро близко к экспоненциальному $K(|x|)\approx \exp(-q|x|)$, т.е. имеет максимум при нулевом аргументе, при больших значениях - экспоненциально спадает.

Если считать ядро экспоненциальным $K(|x|)= \exp(-q|x|)$, то, насколько я понимаю, дифференцируя два раза получается уравнение $q\varphi(x)=0$, откуда либо $q=0$, т.е. ядро - константа, либо $\varphi(x)=0$, т.е. тривиальное решение.

У меня сильное ощущение, что для других положительных ядер (не констант) также будет только тривиальные решения $\varphi(x)=0$. Так ли это?

Если этот вопрос известен в литературе, то прошу дать ссылку.

[g______d]

anotheruser в сообщении #1348597 писал(а):

при больших значениях - экспоненциально спадает.

А на каком интервале рассматривается уравнение? Если на $[-1,1]$, то большие значения вроде вообще не по делу.

Если аккуратно разобраться с интервалами, то это оператор типа свёртки, и проще всего искать ядро с помощью разложения в ряд Фурье.

pogulyat_vyshel в сообщении #1348603 писал(а):

А может ли у компактного оператора ядро состоять лишь из нуля?

В принципе, может: например, оператор умножения на последовательность $1/n$ в $l^2(\mathbb N)$.

[thething]

Знаю (не помню, откуда) такой результат: интегральное уравнение Фредгольма первого рода с симметричным ядром имеет единственное решение $\varphi(t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_na_n\varphi_n(t)$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_n^2\left\lvert a_n\right\rvert^2$, где $\lambda_n$ -- характеристические числа, $\varphi_n(t)$ -- соответствующие ортонормированные собственные функции, $a_n=\int\limits_{-1}^{1}f(t)\varphi_n(t)dt$, $f(t)$ -- правая часть уравнения.

-- 23.10.2018, 21:57 --

По-моему, это теорема Гильберта-Шмидта.

[pogulyat_vyshel]

g______d в сообщении #1348607 писал(а):

раться с интервалами, то это оператор типа свёртки, и проще всего искать ядро с помощью разложения в ряд Фурье.

скорее преобразования Фурье, продолжив нулем функцию на $\mathbb{R}$

[g______d]

thething в сообщении #1348609 писал(а):

Знаю (не помню, откуда) такой результат: интегральное уравнение Фредгольма первого рода с симметричным ядром имеет единственное решение $\varphi(t)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_na_n\varphi_n(t)$ тогда и только тогда, когда сходится ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\lambda_n^2\left\lvert a_n\right\rvert^2$, где $\lambda_n$ -- характеристические числа, $\varphi_n(t)$ -- соответствующие ортонормированные собственные функции, $a_n=\int\limits_{-1}^{1}f(t)\varphi_n(t)dt$, $f(t)$ -- правая часть уравнения.

Не вдаваясь в подробности наполовину проглоченных формулировок, это просто неверно, например, для $f=0$ и ядра $\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ на $[-1,1]$.

-- Вт, 23 окт 2018 10:13:27 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1348618 писал(а):

скорее преобразования Фурье, продолжив нулем функцию на $\mathbb{R}$

Я до конца не понял, на каком интервале рассматривается задача, может быть и так. При наличии выбора я бы предпочёл ряд, потому что в случае преобразования Фурье, даже если мы найдём ядро оператора в $L^2(\mathbb R)$, будет отдельной головной болью проверять, есть ли в этом ядре функции с компактным носителем.

Хотя, если ещё подумать, ядро оператора умножения либо тривиально, либо соответствует в Фурье-представлении $L^2(I)$, где $I\subset \mathbb R$ -- множество положительной меры; и вроде бы не бывает так, чтобы преобразование Фурье функции с компактным носителем обращалось в ноль на множестве положительной меры, потому что это вообще целая функция. Так что наверное Вы правы, но хорошо бы более точную формулировку.

[anotheruser]

g______d в сообщении #1348620 писал(а):

Я до конца не понял, на каком интервале рассматривается задача

Интегральное уравнение рассматривается на $[-1,1]$.

[g______d]

anotheruser в сообщении #1348625 писал(а):

Интегральное уравнение рассматривается на $[-1,1]$.

В смысле что требуется равенство нулю левой части только при $x\in [-1,1]$?.

[anotheruser]

g______d в сообщении #1348631 писал(а):

anotheruser в сообщении #1348625 писал(а):

Интегральное уравнение рассматривается на $[-1,1]$.

В смысле что требуется равенство нулю левой части только при $x\in [-1,1]$?.

Да, совершенно верно.

[thething]

g______d в сообщении #1348620 писал(а):

Не вдаваясь в подробности наполовину проглоченных формулировок, это просто неверно, например, для $f=0$ и ядра $\sin(\pi x)\sin(\pi y)$ на $[-1,1]$.

Да, прошу прощения. Забыл добавить, что система собственных функций должна быть полна на отрезке. Иначе единственность (а также существование) не гарантируется.

[g______d]

thething в сообщении #1349014 писал(а):

Да, прошу прощения. Забыл добавить, что система собственных функций должна быть полна на отрезке. Иначе единственность (а также существование) не гарантируется.

ЭЭЭ и что, каким образом это исправит процитированный пример?

[thething]

g______d в сообщении #1349084 писал(а):

ЭЭЭ и что, каким образом это исправит процитированный пример?

Недопонял, что надо исправить? Данная теорема для Вашего примера не работает, т.к. в нём "система" собственных функций не полна (состоит из одной собственной функции, соответствующей характеристическому числу 1).

[g______d]

thething в сообщении #1349086 писал(а):

Данная теорема для Вашего примера не работает, т.к. в нём "система" собственных функций не полна (состоит из одной собственной функции, соответствующей характеристическому числу 1).

Ну так дополните её до полной как угодно. У любого (компактного самосопряжённого) оператора есть полная система собственных функций.

[thething]

g______d в сообщении #1349089 писал(а):

Ну так дополните её до полной как угодно.

Хм.. ну, значит, у меня тут пробел. С такими ситуациями не сталкивался. Буду восполнять, спасибо.

[g______d]

thething в сообщении #1349098 писал(а):

Хм.. ну, значит, у меня тут пробел. С такими ситуациями не сталкивался. Буду восполнять, спасибо.

Должен признать, что есть интерпретация, в которой Ваш ответ верен: если функции, удовлетворяющую уравнению $Kf=0$, не считать собственными.

[thething]

g______d в сообщении #1349110 писал(а):

если функции, удовлетворяющую уравнению $Kf=0$, не считать собственными

Вы имеете ввиду метод производящих функций?

Нашёл-таки точную формулировку той теоремы. Далее цитата из книги Краснов М.Л. Интегральные уравнения (введение в теорию), 1975, с.231-232

Цитата:

Теорема Пикара. Интегральное уравнение первого рода $\int\limits_{a}^{b}K(t,s)\varphi(s)ds=f(t)$ с замкнутым симметричным ядром $K(t,s)$, где $f(t)\in L_2[a,b]$, имеет, и притом единственное решение в классе $L_2[a,b]$ тогда и только тогда, когда ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lambda_k^2f_k^2$ сходится.

Здесь $\lambda_k$ -- характеристические числа ядра $K(t,s)$, $f_k=(f,\varphi_k)$ -- коэффициенты Фурье функции $f(t)$ относительно собственных функций $\varphi_n(t)$ этого ядра.

Симметричное ядро $K(t,s)$ называется замкнутым в $L_2[a,b]$, если каждая функция $\omega(t)\in L_2[a,b]$, удовлетворяющая тождеству $\int\limits_{a}^{b}K(t,s)\omega(s)ds=0$, равна нулю почти всюду на $[a,b]$. Замкнутое ядро характеризуется тем, что собственные функции ядра образуют полную в $L_2[a,b]$ ортогональную систему функций.

Получается, что в Вашем примере нарушается как раз условие замкнутости ядра/полноты системы собственных функций, т.е. почему это моё рассуждение неверно, я теперь вообще не понимаю. Или я неверно понимаю слово "характеризуется", как "эквивалентно"?