На сколько равных фигур можно разбить правильный треугольник

[Sender]

angor6 в сообщении #1348339 писал(а):

Правильный треугольник не получается разделить на шесть равных правильных треугольников (доказать это я не берусь, потому что мои математические познания находятся на уровне немногим более высоком стандартных школьной и втузовской программ, а способности и того ниже)

Подумаешь, бином Ньютона. Посчитайте, чему будет равна сторона такого гипотетического треугольника разбиения.

[angor6]

Sender
Если я правильно Вас понял, то длина стороны правильного треугольника, составляющего шестую часть заданного правильного треугольника со стороной длины $a,$ равна $\frac{1}{\sqrt{6}}a$.

[Munin]

angor6 в сообщении #1348339 писал(а):

доказать это я не берусь, потому что мои математические познания находятся на уровне немногим более высоком стандартных школьной и втузовской программ

Ну вот, а чего же вы тогда берёте на себя смелость произносить такое?

angor6 в сообщении #1348339 писал(а):

Формулировка, которую я процитировал, может быть как к месту, так и не к месту относительно рассматриваемой темы.

[grizzly]

angor6 в сообщении #1348345 писал(а):

Если я правильно Вас понял, то длина стороны правильного треугольника, составляющего шестую часть заданного правильного треугольника со стороной длины $a,$ равна $\frac{1}{\sqrt{6}}a$.

Ну да, теперь осталось посмотреть на любую сторону большого треугольника и попытаться выбрать (или не выбрать) на ней точку -- вершину малого.

[angor6]

Munin
Потому что данная формулировка может быть к месту в данной теме. Например, удаётся разделить правильный треугольник на четыре, девять (16, 25 и т. д.) равных правильных треугольников. Равные правильные треугольники можно рассматривать как частный случай правильных треугольников. Этот вывод о количестве равных частей, по-моему, прямо относится ко второму вопросу темы.

-- 22.10.2018, 13:55 --

grizzly
Я понимаю, что невозможно составить отрезок длиной $a$ из "малых" отрезков длиной $\frac{1}{\sqrt{6}}a$, приставляя начало следующего "малого" отрезка к концу предыдущего. Но разве это не нужно доказать опять-таки?

[Sender]

angor6 в сообщении #1348350 писал(а):

Но разве это не нужно доказать опять-таки?

А что, с этим какие-то трудности? Сколько отрезков длины $\frac{a}{\sqrt{6}}$ поместится на отрезке длины $a$?

[Heart-Shaped Glasses]

angor6 в сообщении #1348350 писал(а):

Я понимаю, что невозможно составить отрезок длиной $a$ из "малых" отрезков длиной $\frac{1}{\sqrt{6}}a$, приставляя начало следующего "малого" отрезка к концу предыдущего. Но разве это не нужно доказать опять-таки?

А разве это не очевидно? Ну, на пальцах: рассмотрим сторону большого треугольника, понятно, что в результате разбиения маленькие треугольники либо лягут на него стороной $\frac{1}{\sqrt{6}}a$, либо упрутся вершиной (её вклад в длину стороны большого треугольника будет $0$). Ну и, как вы выше сказали, $a$ не кратно $\frac{1}{\sqrt{6}}a$.

[angor6]

Sender
$\sqrt{6}$, то есть не целое число.

(Оффтоп)

По-видимому, полученное противоречие и доказывает невозможность разделить правильный треугольник на шесть равных правильных треугольников. Если да, то доказательство действительно несложное.

-- 22.10.2018, 14:23 --

Heart-Shaped Glasses

(Оффтоп)

Мне не хочется получить предупреждение от модератора за "перехват темы". Поэтому ограничусь в ответ на Ваше сообщение тем, что поделюсь своим наблюдением: при чтении учебников для математических специальностей, чему я сейчас посвящаю своё свободное и даже рабочее время, я пришёл к выводу, что всё нужно доказывать. Поэтому ничего очевидного в математике для меня теперь не существует.

[rockclimber]

Munin в сообщении #1348314 писал(а):

Обращение к rockclimber тоже снимается.

Я в любом случае не претендую на полноту. В прошлом сообщении я немного уточнил решение, но примечание

rockclimber в сообщении #1348297 писал(а):

Для остальных чисел - думать надо.

пока остается в силе.

Единственное, я забыл про число $6$, то есть возможны разбиения на $m^{2k}, 2 \cdot m^{2k}, 3 \cdot m^{2k}, 4 \cdot m^{2k}$ и $6 \cdot m^{2k}$ фигур.