На сколько равных фигур можно разбить правильный треугольник

[Ktina]

а) Разбейте правильный треугольник на 12 равных фигур.

б) При каких натуральных $n$ можно разбить правильный треугольник на $n$ равных фигур?

[Heart-Shaped Glasses]

a). Разобьём треугольник на четыре маленьких правильных треугольника, соединив середины сторон отрезками. Далее каждый маленький треугольник разобьём на три одинаковые фигуры (например, соединив вершины с центром какими-нибудь одинаковыми загогулинами).

[rockclimber]

Ktina в сообщении #1348293 писал(а):

б) При каких натуральных $n$ можно разбить правильный треугольник на $n$ равных фигур?

Есть решения для $n=2, 3, 4$, а также для любого натурального $k$ решение есть для $n$ равного $4^k, 2 \cdot 4^k$ и $3 \cdot 4^k$. Для остальных чисел - думать надо.

[Heart-Shaped Glasses]

Для чисел $5\cdot4^k$ тоже можно, правда, фигуры будут уже несвязными.

[rockclimber]

Вместо $4^k$ можно подставить $m^{2k}$, где $m$ - тоже натуральное число.

[Ktina]

Heart-Shaped Glasses в сообщении #1348299 писал(а):

...правда, фигуры будут уже несвязными.

А если ограничить условие задачи только связными фигурами?

-- 22.10.2018, 11:25 --

Для не обязательно связных, возможно, подходит любое $n\in\mathbb{N}$.

[Munin]

Heart-Shaped Glasses
Представьте разбиение хотя бы на 20.
rockclimber
А вы на 45.

-- 22.10.2018 11:41:19 --

Ktina в сообщении #1348303 писал(а):

Для не обязательно связных, возможно, подходит любое $n\in\mathbb{N}$.

С вас разбиение на 7.

[angor6]

В книге Н. Б. Алфутовой, А. В. Устинова "Алгебра и теория чисел" приводится такое задание: "Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на $n$ правильных треугольников для любого $n,$ начиная с шести.

Правда, при этом они не обязательно будут равными...

[Heart-Shaped Glasses]

Munin, на четыре правильных треугольника, потом каждый из них на пять?

[Ktina]

Munin в сообщении #1348309 писал(а):

Ktina в сообщении #1348303 писал(а):

Для не обязательно связных, возможно, подходит любое $n\in\mathbb{N}$.

С вас разбиение на 7.

Ой

[Munin]

angor6
Предлагаю вам доказать, что для $n=6$ они равными быть не могут.

-- 22.10.2018 11:47:33 --

Heart-Shaped Glasses
Ага. Я поторопился. Обращение к rockclimber тоже снимается.

[angor6]

Munin
При $n=6$ эти части как раз могут быть равными. Подумайте.

[Heart-Shaped Glasses]

angor6 в сообщении #1348316 писал(а):

Munin
При $n=6$ эти части как раз могут быть равными. Подумайте.

Возможно, имелись в виду не равные части, а равные правильные треугольники.

[Munin]

Именно. Строго по формулировке, которую angor6 процитировал. Которая в этой теме совершенно не к месту.

[angor6]

Munin
Формулировка, которую я процитировал, может быть как к месту, так и не к месту относительно рассматриваемой темы. По крайней мере, она даёт пищу для размышлений.

Правильный треугольник не получается разделить на шесть равных правильных треугольников (доказать это я не берусь, потому что мои математические познания находятся на уровне немногим более высоком стандартных школьной и втузовской программ, а способности и того ниже), но получается разделить на шесть равных трапеций или шесть равных прямоугольных треугольников. Это я имел в виду, когда отвечал на Ваше сообщение. Прошу извинить, если я понял Вас неправильно.