2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение29.11.2007, 12:33 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение29.11.2007, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4715
Нов-ск
arqady писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

$\sqrt{3a^2+6b^2} \ge a+2b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 00:52 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
А что в нем красивого?.. Насколько я могу судить, в этом разделе обсуждается куча подобных неравенств типа (некоторое выражение от трех переменных)+(его циклические перестановки)$\leqslant$ ($\geqslant$) (выражение от трех переменных, симметричное относительно них, либо число).

Мне вот интересно, а есть ли какая-нибудь более-менее общая теория таких неравенств, или они каждый раз доказываются своим хитроумным приемом, и потому так любимы составителями олимпиадных задач? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 02:53 
Заслуженный участник


26/06/07
1860
Tel-aviv
Gordmit писал(а):
А что в нем красивого?..

Всё это дело вкуса. В данном случае я прозевал простое решение.
Имелась в виду идея, которая используется в следующем неравенстве:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=174360
А вообще оценка суммы корней снизу всегда интересна, имхо, поскольку функция - корень является вогнутой. Ну и, понятно, без Йенсена мерещится применить Коши-Буняковского, Гёльдера, если повезёт...
Gordmit писал(а):
Насколько я могу судить, в этом разделе обсуждается куча подобных неравенств типа (некоторое выражение от трех переменных)+(его циклические перестановки)$\leqslant$ ($\geqslant$) (выражение от трех переменных, симметричное относительно них, либо число).

Ну количество переменных может быть и другим, но вы правильно подметили, что практически у всех олимпиадных неравенств есть явная или скрытая симметрия.
Здесь сказывается известная человеческая слабость: мы во всём ищем симметрию и гармонию. В то время как на самом деле наш мир ( включая и математический ) - полный хаос и дисгармония.
Gordmit писал(а):
Мне вот интересно, а есть ли какая-нибудь более-менее общая теория таких неравенств, или они каждый раз доказываются своим хитроумным приемом, и потому так любимы составителями олимпиадных задач? :)

"Более или менее общая теория" имеется, но шаг в сторону и ... - ничего не работает. Это обстоятельство превращает эту область олимпиадной математики в невероятно очаровательную.
Приведу один пример.
Для положительных $a,$ $b$ и $c$ докажите, что
1) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq12\left(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a}\right)$
2) $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{9}{a+b+c}\geq6\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\right)$
Правда они похожи? Доказываются же они разными красивыми приёмами.
Причём попытка применить приём, работающий для одного неравенства, приводит к тупику для другого.
( Понятно, что может быть я не вижу что-то и существует общий подход, как например, умножить обе части на общий знаменатель, раскрыть скобки и устроить сумму квадратов. Думаю, последнее возможно, но уж очень это тяжело и некрасиво. )
И ... спасибо Вам за Ваш интерес к неравенствам. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение25.06.2014, 18:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5718
 i  Последующее обсуждение с TR63 отделено

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение18.10.2018, 19:05 
Аватара пользователя


14/03/18
43
arqady в сообщении #88572 писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

Возведём обе части в квадрат, тогда
$\sum_{cyc} (b^2(3b^2+6c^2)+2bc\sqrt{(3b^2+6c^2)(3c^2+6b^2)}\geq \sum 3a^4+12b^2c^2+12a^2bc\geq (a+b+c)^4 \Longleftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение19.10.2018, 09:07 


30/03/08
191
St.Peterburg
arqady в сообщении #88572 писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

$f(t)=\sqrt{3+6t^2}$

$a^2f\left ( \dfrac{b}{a} \right)+b^2f\left ( \dfrac{c}{b} \right)+c^2f\left ( \dfrac{a}{c} \right) \ge (a^2+b^2+c^2)f\left ( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right )=\sqrt{3((a^2+b^2+c^2)^2+2(ab+bc+ca)^2)} \ge $

$ \ge (a+b+c)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group