2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение29.11.2007, 12:33 
Заслуженный участник


26/06/07
1847
Tel-aviv
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение29.11.2007, 13:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4686
Нов-ск
arqady писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

$\sqrt{3a^2+6b^2} \ge a+2b$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 00:52 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
А что в нем красивого?.. Насколько я могу судить, в этом разделе обсуждается куча подобных неравенств типа (некоторое выражение от трех переменных)+(его циклические перестановки)$\leqslant$ ($\geqslant$) (выражение от трех переменных, симметричное относительно них, либо число).

Мне вот интересно, а есть ли какая-нибудь более-менее общая теория таких неравенств, или они каждый раз доказываются своим хитроумным приемом, и потому так любимы составителями олимпиадных задач? :)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.11.2007, 02:53 
Заслуженный участник


26/06/07
1847
Tel-aviv
Gordmit писал(а):
А что в нем красивого?..

Всё это дело вкуса. В данном случае я прозевал простое решение.
Имелась в виду идея, которая используется в следующем неравенстве:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=174360
А вообще оценка суммы корней снизу всегда интересна, имхо, поскольку функция - корень является вогнутой. Ну и, понятно, без Йенсена мерещится применить Коши-Буняковского, Гёльдера, если повезёт...
Gordmit писал(а):
Насколько я могу судить, в этом разделе обсуждается куча подобных неравенств типа (некоторое выражение от трех переменных)+(его циклические перестановки)$\leqslant$ ($\geqslant$) (выражение от трех переменных, симметричное относительно них, либо число).

Ну количество переменных может быть и другим, но вы правильно подметили, что практически у всех олимпиадных неравенств есть явная или скрытая симметрия.
Здесь сказывается известная человеческая слабость: мы во всём ищем симметрию и гармонию. В то время как на самом деле наш мир ( включая и математический ) - полный хаос и дисгармония.
Gordmit писал(а):
Мне вот интересно, а есть ли какая-нибудь более-менее общая теория таких неравенств, или они каждый раз доказываются своим хитроумным приемом, и потому так любимы составителями олимпиадных задач? :)

"Более или менее общая теория" имеется, но шаг в сторону и ... - ничего не работает. Это обстоятельство превращает эту область олимпиадной математики в невероятно очаровательную.
Приведу один пример.
Для положительных $a,$ $b$ и $c$ докажите, что
1) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+4\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\geq12\left(\frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3b+c}+\frac{1}{3c+a}\right)$
2) $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{9}{a+b+c}\geq6\left(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+a+c}+\frac{1}{2c+a+b}\right)$
Правда они похожи? Доказываются же они разными красивыми приёмами.
Причём попытка применить приём, работающий для одного неравенства, приводит к тупику для другого.
( Понятно, что может быть я не вижу что-то и существует общий подход, как например, умножить обе части на общий знаменатель, раскрыть скобки и устроить сумму квадратов. Думаю, последнее возможно, но уж очень это тяжело и некрасиво. )
И ... спасибо Вам за Ваш интерес к неравенствам. :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение25.06.2014, 18:34 
Супермодератор
Аватара пользователя


20/11/12
5718
 i  Последующее обсуждение с TR63 отделено

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение18.10.2018, 19:05 
Аватара пользователя


14/03/18
43
arqady в сообщении #88572 писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

Возведём обе части в квадрат, тогда
$\sum_{cyc} (b^2(3b^2+6c^2)+2bc\sqrt{(3b^2+6c^2)(3c^2+6b^2)}\geq \sum 3a^4+12b^2c^2+12a^2bc\geq (a+b+c)^4 \Longleftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Лёгкое, но красивое неравенство
Сообщение19.10.2018, 09:07 


30/03/08
191
St.Peterburg
arqady в сообщении #88572 писал(а):
Пусть $a,$ $b$ и $c$ неотрицательны. Докажите, что
$a\sqrt{3a^2+6b^2}+b\sqrt{3b^2+6c^2}+c\sqrt{3c^2+6a^2}\geq(a+b+c)^2.$

$f(t)=\sqrt{3+6t^2}$

$a^2f\left ( \dfrac{b}{a} \right)+b^2f\left ( \dfrac{c}{b} \right)+c^2f\left ( \dfrac{a}{c} \right) \ge (a^2+b^2+c^2)f\left ( \dfrac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right )=\sqrt{3((a^2+b^2+c^2)^2+2(ab+bc+ca)^2)} \ge $

$ \ge (a+b+c)^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group