Найти тепло на резисторе

[capt]

Доброго времени суток. У меня возникли вопросы по решению задачи. Надеюсь на вашу помощь

В электрическую цепь включены два источника тока. ЭДС $\varepsilon_1 = 34$ В, $\varepsilon_2 = 24$ В. Внутренние сопротивления одинаковы и равны $r = 1$ Ом. Сопротивление резистора равно $R = 11$ Ом, а электроемкость конденсатора равна $C = 1$ мФ. Сначала все ключи были разомкнуты, затем замкнули ключ К1 до того момента, пока напряжение между клеммами первого источника тока не стало равным $U_1 = 32$ В. Затем ключ К1 разомкнули и замкнули ключ К2. Количество теплоты, выделившейся в резисторе после замыкания ключа К2 равно ... мДж.

Где-то ошибка в решении из-за которой не сходятся ответы.
1) По условию ЭДС реального элемента $\varepsilon_1 = 34$ В, соответственно $\varphi_1 - \varphi_2 = -\varepsilon_1$. $\varphi_2 - \varphi_3 = \varphi_{r}$. Отсюда получим $-\varepsilon = \varphi_1 - \varphi_2 = (\varphi_1 - \varphi_2) + (\varphi_2 - \varphi_3) = -(\varepsilon_1 - rI)$ Или от сюда следует, что

$$U_1 = \varepsilon_1 - Ir$$

2) Найдем напряжение на внешнем сопротивлении $U_{R} = IR = \frac{(\varepsilon_1 - U_1)R}{r}$
3) Найдем напряжение на конденсаторе в момент выключения первого ключа и включения второго:

$$U_{C} = U_1 - \frac{(\varepsilon_1 - U_1)R}{r}$$

т.к. $U_{C}(0_{-}) = U_{C}(0_{+})$.
4)Переобозначим $U_{C} = U_0$ в момент размыкания первого и замыкания второго ключей.
5) $\varepsilon_2 = I(r+R) + U_{C}$
В свою очередь ток в каждом элементе цепи будет одинаковым, т.к. они соединены последовательно, и равен $I = C\frac{dU_{C}}{dt}$
Заменяя и имеем:

$$\varepsilon_2 = (R+r)C\frac{dU_{C}}{dt}+U_{C}$$

Решением будет являться выражение:

$$U_{C}(t) = \varepsilon_2 - (\varepsilon_2 - U_0)e^{-\tau t}$$

Где $\tau = \frac{1}{(R+r)C}$
6) $C\frac{dU_{C}}{dt} = \frac{U_{R}}{R}$, где $\frac{dU_{C}}{dt} = \frac{\varepsilon_2 - U_0}{\tau}e^{\tau t}$
7) Найдем падение напряжения на R

$$U_{R} = RC\frac{\varepsilon_2 - U_0}{\tau}e^{-\tau t}$$

8) Далее я находил мощность на резисторе и получал выражение для выделившейся энергии

$$Q = RC^2 \frac{(\varepsilon_2 - U_0)^2}{\tau^2}\int\limits_0^{+\infty} e^{-2\tau t}dt$$

Получается бред, что я делаю не так?

[mihiv]

Бросилось в глаза, что в 6) $\frac {dU_{C}}{dt}$ найдено неправильно.

[AnatolyBa]

Я бы из энергетических соображений исходил. После вашего пункта 4

[EUgeneUS]

capt

Буквой $\tau$ принято обозначать постоянную времени RC-цепочки, которая имеет размерность [секунды].
Вы же обозначили этой буквой обратную величину, которая имеет размерность [секунды в минус первой степени].
Само по себе это не ошибка, а неаккуратность. Которая, видимо, и привела к ошибке в п.6.

-- 18.10.2018, 08:45 --

AnatolyBa в сообщении #1347201 писал(а):

Я бы из энергетических соображений исходил. После вашего пункта 4

Мысль, конечно, интересная. Но проблема в том, что разность энергии конденсатора в начальный и конечный моменты времени не равняется сумме теплоты, выделившейся на $r$ и $R$.

[AnatolyBa]

EUgeneUS в сообщении #1347208 писал(а):

разность энергии конденсатора в начальный и конечный моменты времени не равняется сумме теплоты, выделившейся на $r$ и $R$.

Конечно нет. Но работа второго ЭДС равна этой разности плюс тепло.

[EUgeneUS]

AnatolyBa
А для расчета работы второго ЭДС все равно придется рассчитывать $I(t)$, а потом интегрировать. В чем преимущество?

[AnatolyBa]

А не надо интегрировать. Напряжение на конденсаторе в момент переключения уже вычислили. Напряжение в конце переходного процесса - я знаю, но не скажу пока. Думаю вы тоже знаете. Вот вам и заряд, он же интеграл от тока.

[EUgeneUS]

AnatolyBa
Да, Вы правы.
В таком подходе ток интегрировать не нужно, его проинтегрировал конденсатор.

[capt]

EUgeneUS
Обидная ошибка получилась: неправильно производную взял, вот все и пошло не так
Но все равно спасибо за ответ.