Забавные цифры

[grizzly]

По мотивам одной соседней темы написал программку с ошибками, но когда стал смотреть её логи, попались на глаза забавные вещи:

$$ 6\cdot6\cdot6\cdot6+7+7\cdot7+7\cdot7\cdot7+7\cdot7\cdot7\cdot7=8\cdot8\cdot8\cdot8$$$$ 5\cdot5+3+3\cdot3+3\cdot3\cdot3=4\cdot4\cdot4$$$$ 3\cdot3\cdot3\cdot3+8+8\cdot8+8\cdot8\cdot8+8\cdot8\cdot8\cdot8=23\cdot23\cdot3\cdot3$$$$ 5\cdot5\cdot5\cdot5+7+7\cdot7+7\cdot7\cdot7=4\cdot4\cdot4\cdot4\cdot4$$$$ 8\cdot8+8\cdot8\cdot8\cdot8+8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8+1111\cdot1111=5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7 $$

Если ввести обозначение $F(d,k)=d+d^2+\cdots+d^k$, то всё это можно записать в компактной форме:

$$ 6^4+F(7,4)=2^{12}\qquad 5^2+F(3,3)=2^6 \qquad 3^4+F(8,4)=69^2 \qquad 1111^2+F(64,3)=35^2 $$

Шутки шутками, но это я вывел просто какие-то забавные цифры, а вообще мне показалось, что там слишком много решений, если принять во внимание, что числа $F(n,k)$ распределены реже, чем $n^k$. А в гипотезе Била, даже если взять одну из степеней двойку, обычно совсем мало решений (здесь же первое вообще без квадратов).

Я посмотрел только маленькие числа и маленькие степени, может, дальше и нечего нет больше. Если кому будет интереснее чем ленивее посмотреть, что там происходит за границами Long Int, просьба рассказать. Ну или просто можно будет использовать тему для подобных забавных вещей, которые не дотягивают до имеющихся тем о красивых соотношениях в математике.

[wrest]

Да, за границами long int что-то пустовато, в смысле небольоих чисел (до 100) в высоких степенях (до 100).
Большие числа в малых степенях не смотрел еще.

[wrest]

В общем, для диапазона $2 \le k,l,m,n \le 100$ все решения, то есть где суммы $S=k^l+F(m,n)$ являются степенями, все такие $S<10^{10}$
Всего решений в этом диапазоне $449$
Наибольшее в этом диапазоне решение:$19^4+F(59,5)=26970^2$

-- 18.10.2018, 11:43 --

В основном, понятное дело, решения - квадраты.
"Прикольные" решения:
$2^6+F(63,2)=2^{12}$
$46^2+F(44,2)=2^{12}$
$17^3+F(3,7)=2^{13}$
$22^2+F(45,4)=2^{22}$
$3^3+F(26,2)=3^6$
$41^2+F(22,2)=3^7$
$3^4+F(80,2)=3^8$
$59^2+F(55,2)=3^8$
$2^3+F(31,2)=10^3$
$20^2+F(24,2)=10^3$
$10^2+F(99,2)=10^4$
$38^2+F(92,2)=10^4$
$88^2+F(47,2)=10^4$
$2^9+F(9,3)=11^3$
$57^2+F(2,6)=15^3$
$14^3+F(72,2)=20^3$
$3^8+F(27,3)=30^3$
$19^3+F(2,4)=83^2$
$19^3+F(5,2)=83^2$

Ну вот например

$$3^8+F(27,3)=3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 + 3\cdot 3 \cdot 3 + 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 + 3\cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$$

[grizzly]

Спасибо!

wrest в сообщении #1347235 писал(а):

$17^3+F(3,7)=2^{13}$
$2^9+F(9,3)=11^3$
$3^8+F(27,3)=30^3$
$6^4+F(7,4)=2^{12}$
$5^4+F(7,3)=4^5$

(Я добавил пару штук со своего сообщения).

Нашлось 5 штук минимальной степени 3 и выше (одно из них, правда, совсем не "примитивно" и ещё одно частично). Одно минимальной степени 4.

Всё же, на таком небольшом диапазоне чисел решений действительно много. Интересно, рассматривали где-то подобные штуки или нет? Если таких решений существует бесконечное множество, то можно надеяться, что на таком типе равенств может проявиться какая-то специфика, связанная с $abc$-гипотезой (если сравнивать с равенствами из гипотезы Бела).

Вы на чём это запускали? Да в любом случае, поделитесь, пжл, скриптом -- я посмотрю ещё варианты типа $F+F=z^k$ и $F+F=F$.

[wrest]

Ну я особо не полировал и не универсализировал скрипт.
На PARI/GP
Сначала заполняем два массива 100x100 (для $n^k$ и $F(n,k)$)
На ходу это считать долго, поэтому так делал.
Потом в четырехкратно вложенном цикле складываем каждый элемент одного массива с каждым элементом второго и смотрим не степень ли это.
Если степень, то печатаем порядковый номер решения, целую часть десятичного логарифма суммы, и само решение.

(Код)

Fg=matrix(100,100,i,j,sum(k=1,j,i^k));
Fk=matrix(100,100,i,j,i^j);
c=0;t=0;n=0;s=0;
for(i=2,100,for(j=2,100,for(k=2,100,for(l=2,100,s=Fg[k,l]+Fk[i,j];t=ispower(s,,&n);if(t>0,c=c+1;print(c," ",floor(log(s)/log(10))," digits: ",i,"^",j,"+F(",k,",",l,")=",n,"^",t))))))

Первые 10 строк вывода:
1 1 digits: 2^2+F(3,2)=2^4
2 2 digits: 2^2+F(5,4)=28^2
3 2 digits: 2^3+F(3,4)=2^7
4 1 digits: 2^3+F(7,2)=2^6
5 2 digits: 2^3+F(31,2)=10^3
6 1 digits: 2^4+F(4,2)=6^2
7 2 digits: 2^4+F(4,3)=10^2
8 3 digits: 2^4+F(4,6)=74^2
9 3 digits: 2^4+F(9,4)=86^2
10 2 digits: 2^4+F(15,2)=2^8
Всего вывелось 449 строк. Ну ясно, что есть повторы в решениях потому что например $3^4=9^2$

-- 18.10.2018, 13:10 --

grizzly в сообщении #1347245 писал(а):

я посмотрю ещё варианты типа $F+F=z^k$ и $F+F=F$.

Есть еще случаи $F=F$, например $F(2,4)=F(5,2)$ :)

[grizzly]

wrest в сообщении #1347252 писал(а):

Ну я особо не полировал и не универсализировал скрипт.

Спасибо!

(Оффтоп)

Мне достаточно программы "как есть" и я далёк от мысли что-то критиковать :) Сам программирую настолько плохо, что мне проще разбираться в чужих программах, чем писать свои. Но имея "козу", я обычно способен уже доработать её до своих потребностей.

[wrest]

grizzly
Можете сразу "повысить ставки". Массив для $F$ размером 10^5х30 (т.е. от $F(1,1)$ до $F(10^5,30)$), это еще не очень большие числа -- до 150 десятичных цифр максимум на элемент, но уже далеко за пределами long int у меня заполняется за 20 секунд. Но надо увеличить максимальный размер стека -- я установил максимум в 1 гигабайт (команда default(parisizemax,10^9))
Высоких степеней все равно, похоже, нет.

[grizzly]

wrest в сообщении #1347284 писал(а):

Высоких степеней все равно, похоже, нет.

Ну, тогда вряд ли из этих наблюдений может быть какая-то польза.

[waxtep]

wrest в сообщении #1347252 писал(а):

Есть еще случаи $F=F$, например $F(2,4)=F(5,2)$

wrest, а еще такие есть, и много ли их вообще? Пытался не так давно эту тему победить, но, вполне безуспешно

[wrest]

waxtep в сообщении #1347495 писал(а):

Пытался не так давно эту тему победить, но, вполне безуспешно

И сколько уже проверили?

[waxtep]

wrest, я программатически не пытался, только ручкой и бумажкой (пальцАми и планшетом, строго говоря), здесь

-- 19.10.2018, 01:06 --

Не вспомню с ходу почему, тогда мне показалось (но, не доказалось), что $F(5,2)=F(2,4)$ - глобально единственное решение $F(p,n)=F(q,m)$ в простых $p$ и $q$

[wrest]

waxtep
Простых до 100 не нашлось, но нашлось это $F(2,12)=F(90,2)=8190$

[grizzly]

grizzly в сообщении #1347245 писал(а):

я посмотрю ещё варианты типа $F+F=z^k$.

Попалось среди таких вариантов (с чуть видоизменённым $F$) одно тождество. Примеры:

$$ (1+4+16+64) + (1+3+9+27) = 5^3 \qquad (1+13+13^2+13^3) + (1+3+3^2+3^3+3^4+3^5) = 14^3 $$

Сворачиваем: для любого $n$

$$ \sum_{k=0}^3\Big(\sum_{i=0}^n 3^i \Big)^k + \sum_{i=0}^{2n+1} 3^i= \Big(1+\sum_{i=0}^n 3^i \Big)^3 $$

Ценности оно не представляет (просуммировать прогрессии, раскрыть скобки, привести подобные и наверняка же всё сложится), но показывает, что такого вида решений может быть много.

Ничего более интересного, чем было раньше, не обнаружил.