Расстояние между простыми числами

[Soul Friend]

$$a(n)=ceil\left(prime(n+3)-\left(prime(n+2)\frac{prime(n+1)}{prime(n)}\right)\right)$$

код Wolframalfa для $x$ :

Plot(ceil(prime(x+3)-(prime(x+2)*(prime(x+1)/(prime(x))))), x=1..100)

изучал ли кто ранее такую разницу соотношений простых чисел? (можно, так сказать, золотая середина флуктуации распределения простых чисел)

иначе можно написать:

$$prime(n+3)=\left(prime(n+2)\frac{prime(n+1)}{prime(n)}\right)+a(n)$$

где $a(n)$ растёт медленно.

[Soul Friend]

Код таблицы в Wolframalfa $x$:

Table(ceil(prime(x+3)-(prime(x+2)*(prime(x+1)/(prime(x))))), x=1..100)

Будут ли продолжаться попадаться нули?
Моя гипотеза - бесконечно.

[Soul Friend]

Гипотеза:

$$ceil\left(prime(x+3)-\left(prime(x+2)\frac{prime(x+1)}{prime(x)}\right)\right)$$

является строго убывающей функцией от $x$.

[Someone]

Везде пишет "Wolfram|Alpha doesn't understand your query".

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- все ссылки неработоспособны (по-видимому, надо приводить не ссылки, а код для WolframAlpha, или решить проблему каким-то другим способом).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

[Soul Friend]

расчёты до $prime(1000000)$ показали что нули всё ещё встречаются, а сама разница в верхней границе не превышает $60$.

[Soul Friend]

расчёты от $prime(99999900)$ до $prime(100000000)$ :

16;  20;  -22;  4;  16;  -26;  -2;  12;  -10;  32;  8;  6;  -12;  -10;  14;  -40;  -10;  20;  -4;  6;  30;  -22;  14;  8;  -12;  6;  -24;  -18;  -6;  10;  4;  -8;  28;  52;  -12;  -20;  4;
-24;  -20;  -2;  52;  -2;  -48;  10;  -2;  0;  4;  0;  -2;  -12;  10;  18;  62;  -22;  -54;  28;  -26;  -22;  62;  44;  -58;  -42;  18;  6;  -14;  -14;  -8;  22;  -2;  -6;  26;  14;  -18;  4
;  -8;  -26;  12;  20;  4;  -2;  -6;  -16;  -6;  20;  0;  -28;  0;  2;  14;  18;  -8;  10;  36;  -16;  0;  -12;  -22;  -2;  -18;  6;  0;

в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.

код в PARI/GP :

for(i=99999900, 100000000, a=ceil(prime(i+3)-(prime(i+2)*prime(i+1))/prime(i)); print1(a, ";", "  "))

[gris]

Вообще, хочется $P(x+2)$ за скобки вынести и даже отказаться. Тогда останется $P(x+3)/P(x+2)-P(x+1)/P(x)$. То есть можно рассмотреть отношение простого числа к предыдущему. Не ли чего интересного в этой последовательности? Ясно, что она стремится к единичке, то есть разность между членами через один будет стремиться к нулю. Но Вы умножаете её на задействованное простое число. Ну вот пока всё

[EUgeneUS]

gris
ИМХО, в таком виде из-за чисел близнецов будут неограниченные выбросы.

[grizzly]

Soul Friend в сообщении #1347240 писал(а):

нули всё ещё встречаются

Нули в этой последовательности будут встречаться намного чаще, чем простые близнецы-четвёрки (которые тоже все дают нули, начиная с какого-то номера).

-- 18.10.2018, 15:02 --

Soul Friend в сообщении #1347224 писал(а):

Гипотеза:

$$ceil\left(prime(x+3)-\left(prime(x+2)\frac{prime(x+1)}{prime(x)}\right)\right)$$

является строго убывающей функцией от $x$.

Это, вроде, противоречит этому:

Soul Friend в сообщении #1347267 писал(а):

в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.

[Soul Friend]

grizzly в сообщении #1347290 писал(а):

Это, вроде, противоречит этому:
Soul Friend в сообщении #1347267

писал(а):
в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.

я некорректно выразился, просто хотел повторить по другому вот это:

Soul Friend в сообщении #1347189 писал(а):

где $a(n)$ растёт медленно.

верхняя граница соотношения $\frac{a(n)}{n}$ убывает с ростом $n$.

[Dmitriy40]

Soul Friend в сообщении #1347240 писал(а):

расчёты до $prime(1000000)$ показали что нули всё ещё встречаются, а сама разница в верхней границе не превышает $60$.

Простите, тут где-то ошибка, верхняя граница равна $+148$, а нижняя $-146$:
$\pi(325850..325853)=\{4652309, 4652317, 4652353, 4652507\}$, $a=4652507-4652353\cdot4652317/4652309=+145.9999243\approx +146$
$\pi(325852..325855)=\{4652353, 4652507, 4652513, 4652521\}$, $a=4652521-4652513\cdot4652507/4652353=-146.005296\approx -146$
$\pi(733586..733589)=\{11113913, 11113919, 11113933, 11114087\}$, $a=11114087-11113933\cdot11113919/11113913=+147.9999892\approx +148$
До $\pi(10^7)$ границы $\pi(2850174)=47326693:-218$ и $\pi(6957874)=122164739:+220$.
До $\pi()<10^9$ границы $\pi(23163296)=436272953:+274$ и $\pi(23163298)=436273009:-272$, $a()=0$ в этом диапазоне нашлось $2888589$ штук.

Код на PARI/GP в подтверждение:

? n=[325850,325852,733586,2850174,6957874,23163296,23163298];for(j=1,#n,v=vector(4,i,prime(n[j]+i-1));a=v[4]-v[3]*v[2]/v[1];print(n[j],":",v," : a = ",a*1.0," ≈ ",ceil(a)))
325850:[4652309, 4652317, 4652353, 4652507] : a = 145.999924339 ≈ 146
325852:[4652353, 4652507, 4652513, 4652521] : a = -146.005296245 ≈ -146
733586:[11113913, 11113919, 11113933, 11114087] : a = 147.999989203 ≈ 148
2850174:[47326693, 47326913, 47326919, 47326921] : a = -218.001050570 ≈ -218
6957874:[122164739, 122164741, 122164747, 122164969] : a = 219.999999869 ≈ 220
23163296:[436272953, 436272961, 436273009, 436273291] : a = 273.999998973 ≈ 274
23163298:[436273009, 436273291, 436273309, 436273319] : a = -272.000193915 ≈ -272

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1347279 писал(а):

ИМХО, в таком виде из-за чисел близнецов будут неограниченные выбросы.

Не будет. $\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{n \log n (1 + o(1))}{(n + 1)\log(n+1)(1+o(1))} = 1 + o(1)$.

[Soul Friend]

Dmitriy40 в сообщении #1347346 писал(а):

Простите, тут где-то ошибка, верхняя граница равна $+148$, а нижняя $-146$:

Вы правы:

for(i=23163280,23163300,a=ceil(prime(i+3)-(prime(i+2)*prime(i+1))/prime(i));print1(a,";","  "))
20;  -12;  4;  0;  -40;  14;  24;  -14;  -26;  28;  0;  -16;  4;  -14;  2;  38;  274;  -30;  -272;  2;  2;

Тогда я сделал выводы глядя на график в Wolframalfa, там шкала показывала не больше 60.