2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 06:35 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
$$a(n)=ceil\left(prime(n+3)-\left(prime(n+2)\frac{prime(n+1)}{prime(n)}\right)\right)$$
код Wolframalfa для $x$ :

Код:
Plot(ceil(prime(x+3)-(prime(x+2)*(prime(x+1)/(prime(x))))), x=1..100)


изучал ли кто ранее такую разницу соотношений простых чисел? (можно, так сказать, золотая середина флуктуации распределения простых чисел)

иначе можно написать:
$$prime(n+3)=\left(prime(n+2)\frac{prime(n+1)}{prime(n)}\right)+a(n)$$
где $a(n)$ растёт медленно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 08:07 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Код таблицы в Wolframalfa $x$:
Код:
Table(ceil(prime(x+3)-(prime(x+2)*(prime(x+1)/(prime(x))))), x=1..100)

Будут ли продолжаться попадаться нули?
Моя гипотеза - бесконечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 10:05 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Гипотеза:
$$ceil\left(prime(x+3)-\left(prime(x+2)\frac{prime(x+1)}{prime(x)}\right)\right)$$

является строго убывающей функцией от $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17976
Москва
Везде пишет "Wolfram|Alpha doesn't understand your query".

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.10.2018, 10:36 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- все ссылки неработоспособны (по-видимому, надо приводить не ссылки, а код для WolframAlpha, или решить проблему каким-то другим способом).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение18.10.2018, 11:16 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 11:58 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
расчёты до $prime(1000000)$ показали что нули всё ещё встречаются, а сама разница в верхней границе не превышает $60$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 13:45 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
расчёты от $prime(99999900)$ до $prime(100000000)$ :
Код:
16;  20;  -22;  4;  16;  -26;  -2;  12;  -10;  32;  8;  6;  -12;  -10;  14;  -40;  -10;  20;  -4;  6;  30;  -22;  14;  8;  -12;  6;  -24;  -18;  -6;  10;  4;  -8;  28;  52;  -12;  -20;  4;
-24;  -20;  -2;  52;  -2;  -48;  10;  -2;  0;  4;  0;  -2;  -12;  10;  18;  62;  -22;  -54;  28;  -26;  -22;  62;  44;  -58;  -42;  18;  6;  -14;  -14;  -8;  22;  -2;  -6;  26;  14;  -18;  4
;  -8;  -26;  12;  20;  4;  -2;  -6;  -16;  -6;  20;  0;  -28;  0;  2;  14;  18;  -8;  10;  36;  -16;  0;  -12;  -22;  -2;  -18;  6;  0;

в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.

код в PARI/GP :
Код:
for(i=99999900, 100000000, a=ceil(prime(i+3)-(prime(i+2)*prime(i+1))/prime(i)); print1(a, ";", "  "))

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 14:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Вообще, хочется $P(x+2)$ за скобки вынести и даже отказаться. Тогда останется $P(x+3)/P(x+2)-P(x+1)/P(x)$. То есть можно рассмотреть отношение простого числа к предыдущему. Не ли чего интересного в этой последовательности? Ясно, что она стремится к единичке, то есть разность между членами через один будет стремиться к нулю. Но Вы умножаете её на задействованное простое число. Ну вот пока всё :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 14:33 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
gris
ИМХО, в таком виде из-за чисел близнецов будут неограниченные выбросы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 14:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Soul Friend в сообщении #1347240 писал(а):
нули всё ещё встречаются
Нули в этой последовательности будут встречаться намного чаще, чем простые близнецы-четвёрки (которые тоже все дают нули, начиная с какого-то номера).

-- 18.10.2018, 15:02 --

Soul Friend в сообщении #1347224 писал(а):
Гипотеза:
$$ceil\left(prime(x+3)-\left(prime(x+2)\frac{prime(x+1)}{prime(x)}\right)\right)$$является строго убывающей функцией от $x$.
Это, вроде, противоречит этому:
    Soul Friend в сообщении #1347267 писал(а):
    в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 15:29 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
grizzly в сообщении #1347290 писал(а):
Это, вроде, противоречит этому:
Soul Friend в сообщении #1347267

писал(а):
в этой сотне встречаются шесть нулей, верхняя граница $62$, нижняя граница $-58$.


я некорректно выразился, просто хотел повторить по другому вот это:
Soul Friend в сообщении #1347189 писал(а):
где $a(n)$ растёт медленно.

верхняя граница соотношения $\frac{a(n)}{n}$ убывает с ростом $n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 17:01 
Заслуженный участник


20/08/14
11766
Россия, Москва
Soul Friend в сообщении #1347240 писал(а):
расчёты до $prime(1000000)$ показали что нули всё ещё встречаются, а сама разница в верхней границе не превышает $60$.
Простите, тут где-то ошибка, верхняя граница равна $+148$, а нижняя $-146$:
$\pi(325850..325853)=\{4652309, 4652317, 4652353, 4652507\}$, $a=4652507-4652353\cdot4652317/4652309=+145.9999243\approx +146$
$\pi(325852..325855)=\{4652353, 4652507, 4652513, 4652521\}$, $a=4652521-4652513\cdot4652507/4652353=-146.005296\approx -146$
$\pi(733586..733589)=\{11113913, 11113919, 11113933, 11114087\}$, $a=11114087-11113933\cdot11113919/11113913=+147.9999892\approx +148$
До $\pi(10^7)$ границы $\pi(2850174)=47326693:-218$ и $\pi(6957874)=122164739:+220$.
До $\pi()<10^9$ границы $\pi(23163296)=436272953:+274$ и $\pi(23163298)=436273009:-272$, $a()=0$ в этом диапазоне нашлось $2888589$ штук.

Код на PARI/GP в подтверждение:
Код:
? n=[325850,325852,733586,2850174,6957874,23163296,23163298];for(j=1,#n,v=vector(4,i,prime(n[j]+i-1));a=v[4]-v[3]*v[2]/v[1];print(n[j],":",v," : a = ",a*1.0," ≈ ",ceil(a)))
325850:[4652309, 4652317, 4652353, 4652507] : a = 145.999924339 ≈ 146
325852:[4652353, 4652507, 4652513, 4652521] : a = -146.005296245 ≈ -146
733586:[11113913, 11113919, 11113933, 11114087] : a = 147.999989203 ≈ 148
2850174:[47326693, 47326913, 47326919, 47326921] : a = -218.001050570 ≈ -218
6957874:[122164739, 122164741, 122164747, 122164969] : a = 219.999999869 ≈ 220
23163296:[436272953, 436272961, 436273009, 436273291] : a = 273.999998973 ≈ 274
23163298:[436273009, 436273291, 436273309, 436273319] : a = -272.000193915 ≈ -272

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9145
Цюрих
EUgeneUS в сообщении #1347279 писал(а):
ИМХО, в таком виде из-за чисел близнецов будут неограниченные выбросы.
Не будет. $\frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{n \log n (1 + o(1))}{(n + 1)\log(n+1)(1+o(1))} = 1 + o(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Расстояние между простыми числами
Сообщение18.10.2018, 17:32 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Dmitriy40 в сообщении #1347346 писал(а):
Простите, тут где-то ошибка, верхняя граница равна $+148$, а нижняя $-146$:

Вы правы:
Код:
for(i=23163280,23163300,a=ceil(prime(i+3)-(prime(i+2)*prime(i+1))/prime(i));print1(a,";","  "))
20;  -12;  4;  0;  -40;  14;  24;  -14;  -26;  28;  0;  -16;  4;  -14;  2;  38;  274;  -30;  -272;  2;  2;


Тогда я сделал выводы глядя на график в Wolframalfa, там шкала показывала не больше 60.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group