2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Новое неравенство
Сообщение22.12.2017, 03:34 
Аватара пользователя


21/06/08
476
Томск
Дано $a, b, c >0 $. Доказать, что
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение22.12.2017, 19:53 


30/03/08
196
St.Peterburg
daogiauvang в сообщении #1277525 писал(а):
Дано $a, b, c >0 $. Доказать, что
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

$$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y} \ge \dfrac{3}{2} \sqrt[3]{\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}}$$
Возьмем треугольник со сторонами: $a=x+y ,\  b=y+z,\ c=z+x$

$x+y+z=p , \ xy+yz+zx=r(r+4R), \ xyz=pr^2$

Тогда все это перепишется так:

$$\dfrac{p^2(p^2-12rR+r^2)^3}{8(rR)^3}- 9(p^2-12rR) \ge 0$$
Минимум левой части при фиксированных $r$ и $R$ достигается когда $p^2$ минимально.

$p^2\ge 16Rr-5r^2$ (это известно)

получаем $t=\dfrac{R}{r}\ge 2$:

$$ (t-2)(92t^3-195t^2+114t-20)\ge 0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение22.12.2017, 21:56 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Следующее неравенство тоже верно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:
$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{3}{2}\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение23.03.2018, 09:51 
Аватара пользователя


14/03/18
87
arqady, я не смог определить является ли
$32(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)^5-(9uv^2-w^3)^5(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+15u^2w^3-5v^2w^3)$
, монотонна или вогнута относительно $u,v^2$ или $w^3$. Если я ошибся, то можете сказать она монотонна или вогнута относительно $u,v^2$ или $w^3$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение23.03.2018, 12:54 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Думаю $uvw$ здесь не работает. Я доказал это неравенство с помощью $SOS$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение23.03.2018, 13:08 
Аватара пользователя


14/03/18
87
Звучит ужасно, думал что есть менее громоздкое решение, но всё равно спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение15.10.2018, 19:54 
Аватара пользователя


14/03/18
87
Пусть $3u=a+b+c$, $3v^2=ab+bc+ca$ и $w^3=abc$, тогда неравенство эквивалентно $2(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)\geq (9uv^2-w^3)\sqrt[5]{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}$
Прологорифмиров обе части мы получаем следуещее неравенство $f(w^3)$, где
$f(w^3)=5\ln(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)-\ln(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)-5\ln(9uv^2-w^3)+5\ln2$
$f'(w^3)=\frac{20}{27u^3-27uv^2+4w^3}-\frac{15u^2-5v^2}{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}+\frac{5}{9uv^-w^3}>\frac{5(243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3)}{(27u^3-27uv^2+4w^3)(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)}$
Докажем, что $243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3\geq0$, поскольку это возрастающая функция $w^3$, то достаточно проверить когда $w^3$ достигает минимума или когда $b=c=1$
$(a - 1)^2 (3 a^3 + 6 a^2 + 6 a + 4)\geq0$
Значит неравенство достигает минимума, когда $w^3$ минимален, то есть достоточно проверить когда $b=c=1$
$5\ln(a^3+a^2+4)-\ln(a^5+2)-5\ln(a+1)-4\ln3\geq0$, пусть $g(a)=5\ln(a^3+a^2+4)-\ln(a^5+2)-5\ln(a+1)-4\ln3$
$g'(a)=\frac{5 (a - 1) (a^7 + 3 a^6 + 4 a^5 - 4 a^4 - 8 a^3 - 4 a^2 + 4 a + 8)}{(a^3+a^2+4)(a^5+2)(a+1)}$, тогда $g(a)\geq g(1)=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение16.10.2018, 00:24 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Если подставить в $f'(w^3)$ $u=v=w=1$, то получим: $5-10+\frac{5}{8}$. Плохо получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение16.10.2018, 09:08 
Аватара пользователя


14/03/18
87
Просто нехватило места, $f'(w^3)>\frac{243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3}{(27u^3-27uv^2+4w^3)(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)}\geq0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение16.10.2018, 09:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Cap в сообщении #1346615 писал(а):
Просто нехватило места
Вопрос не в этом.

Если просуммируете эти три дроби в правой части:
Cap в сообщении #1346514 писал(а):
$f'(w^3)=\frac{20}{27u^3-27uv^2+4w^3}-\frac{15u^2-5v^2}{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}+\frac{5}{9uv^-w^3}$
как раз и получите:
arqady в сообщении #1346577 писал(а):
то получим: $5-10+\frac{5}{8}$
Поэтому или ошибка уже здесь, или последующее (непоместившееся) неравенство выведено неверно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение16.10.2018, 13:23 
Аватара пользователя


14/03/18
87
Точно, спасибо. Оказывается функция ни монотонная и ни вогнутая относительно $u,v^2$ и $w^3$. Интересно, что для упрощения использовал arqady $\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}\geq ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение17.10.2018, 02:57 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Cap в сообщении #1346706 писал(а):
Интересно, что для упрощения использовал arqady $\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}\geq ?$

По Вашему вопросу видно, что Вы ищете в правильном направлении! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение17.10.2018, 08:24 
Заблокирован


16/04/18

1129
Что есть SOS?

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение17.10.2018, 09:53 
Аватара пользователя


14/03/18
87
Не, я серьёзно $\sqrt[5]{81(\sum a^5)}-(\sum a)=\frac{\sum S_a(b-c)^2}{(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^4+(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^3(\sum a)+(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^2(\sum a)^2+\sqrt[5]{81(\sum a^5)}(\sum a)^3+(\sum a)^4}$
Что такое SOS? https://duckduckgo.com/?q=SOS+inequality&t=ffab&ia=qa

 Профиль  
                  
 
 Re: Новое неравенство
Сообщение17.10.2018, 09:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
novichok2018 в сообщении #1346912 писал(а):
Что есть SOS?
Сумма квадратов по-русски.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group