Новое неравенство

[daogiauvang]

Дано $a, b, c >0 $. Доказать, что
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

[Sergic Primazon]

daogiauvang в сообщении #1277525 писал(а):

Дано $a, b, c >0 $. Доказать, что
$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b} \geq \frac{3}{2} \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$

$$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y} \ge \dfrac{3}{2} \sqrt[3]{\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3}}$$

Возьмем треугольник со сторонами: $a=x+y ,\ b=y+z,\ c=z+x$

$x+y+z=p , \ xy+yz+zx=r(r+4R), \ xyz=pr^2$

Тогда все это перепишется так:

$$\dfrac{p^2(p^2-12rR+r^2)^3}{8(rR)^3}- 9(p^2-12rR) \ge 0$$

Минимум левой части при фиксированных $r$ и $R$ достигается когда $p^2$ минимально.

$p^2\ge 16Rr-5r^2$ (это известно)

получаем $t=\dfrac{R}{r}\ge 2$:

$$ (t-2)(92t^3-195t^2+114t-20)\ge 0$$

[arqady]

Следующее неравенство тоже верно.
Для положительных $a$, $b$ и $c$ докажите, что:

$$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq\frac{3}{2}\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}.$$

[Cap]

arqady, я не смог определить является ли
$32(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)^5-(9uv^2-w^3)^5(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+15u^2w^3-5v^2w^3)$
, монотонна или вогнута относительно $u,v^2$ или $w^3$. Если я ошибся, то можете сказать она монотонна или вогнута относительно $u,v^2$ или $w^3$?

[arqady]

Думаю $uvw$ здесь не работает. Я доказал это неравенство с помощью $SOS$.

[Cap]

Звучит ужасно, думал что есть менее громоздкое решение, но всё равно спасибо!

[Cap]

Пусть $3u=a+b+c$, $3v^2=ab+bc+ca$ и $w^3=abc$, тогда неравенство эквивалентно $2(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)\geq (9uv^2-w^3)\sqrt[5]{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}$
Прологорифмиров обе части мы получаем следуещее неравенство $f(w^3)$, где
$f(w^3)=5\ln(27u^4-27u^2v^2+4uw^3)-\ln(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)-5\ln(9uv^2-w^3)+5\ln2$
$f'(w^3)=\frac{20}{27u^3-27uv^2+4w^3}-\frac{15u^2-5v^2}{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}+\frac{5}{9uv^-w^3}>\frac{5(243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3)}{(27u^3-27uv^2+4w^3)(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)}$
Докажем, что $243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3\geq0$, поскольку это возрастающая функция $w^3$, то достаточно проверить когда $w^3$ достигает минимума или когда $b=c=1$
$(a - 1)^2 (3 a^3 + 6 a^2 + 6 a + 4)\geq0$
Значит неравенство достигает минимума, когда $w^3$ минимален, то есть достоточно проверить когда $b=c=1$
$5\ln(a^3+a^2+4)-\ln(a^5+2)-5\ln(a+1)-4\ln3\geq0$, пусть $g(a)=5\ln(a^3+a^2+4)-\ln(a^5+2)-5\ln(a+1)-4\ln3$
$g'(a)=\frac{5 (a - 1) (a^7 + 3 a^6 + 4 a^5 - 4 a^4 - 8 a^3 - 4 a^2 + 4 a + 8)}{(a^3+a^2+4)(a^5+2)(a+1)}$, тогда $g(a)\geq g(1)=0$

[arqady]

Если подставить в $f'(w^3)$ $u=v=w=1$, то получим: $5-10+\frac{5}{8}$. Плохо получается.

[Cap]

Просто нехватило места, $f'(w^3)>\frac{243u^5-405u^3v^2+126uv^4+(48u^2-12v^2)w^3}{(27u^3-27uv^2+4w^3)(81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3)}\geq0$

[grizzly]

Cap в сообщении #1346615 писал(а):

Просто нехватило места

Вопрос не в этом.

Если просуммируете эти три дроби в правой части:

Cap в сообщении #1346514 писал(а):

$f'(w^3)=\frac{20}{27u^3-27uv^2+4w^3}-\frac{15u^2-5v^2}{81u^5-135u^3v^2+45uv^4+(15u^2-5v^2)w^3}+\frac{5}{9uv^-w^3}$

как раз и получите:

arqady в сообщении #1346577 писал(а):

то получим: $5-10+\frac{5}{8}$

Поэтому или ошибка уже здесь, или последующее (непоместившееся) неравенство выведено неверно.

[Cap]

Точно, спасибо. Оказывается функция ни монотонная и ни вогнутая относительно $u,v^2$ и $w^3$. Интересно, что для упрощения использовал arqady $\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}\geq ?$

[arqady]

Cap в сообщении #1346706 писал(а):

Интересно, что для упрощения использовал arqady $\sqrt[5]{\frac{a^5+b^5+c^5}{3}}\geq ?$

По Вашему вопросу видно, что Вы ищете в правильном направлении!

[novichok2018]

Что есть SOS?

[Cap]

Не, я серьёзно $\sqrt[5]{81(\sum a^5)}-(\sum a)=\frac{\sum S_a(b-c)^2}{(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^4+(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^3(\sum a)+(\sqrt[5]{81(\sum a^5)})^2(\sum a)^2+\sqrt[5]{81(\sum a^5)}(\sum a)^3+(\sum a)^4}$
Что такое SOS? https://duckduckgo.com/?q=SOS+inequality&t=ffab&ia=qa

[grizzly]

novichok2018 в сообщении #1346912 писал(а):

Что есть SOS?

Сумма квадратов по-русски.