Параметризация поверхности 5-го порядка

[Volik]

Всем доброго дня.
Я параметризовал поверхность
$2 \cdot k \cdot i-2 \cdot k \cdot i \cdot j^2-j+j \cdot k^2+j \cdot i^2-j \cdot i^2 \cdot k^2 = 0$
выражениями
$i=\frac{ \sqrt{1+2 \cdot m+2 \cdot m \cdot l-m^2+l} }{ \sqrt{l} }$
$j=\frac{ \sqrt{m \cdot (-2-2 \cdot l+m) \cdot l} }{ \sqrt{1+2 \cdot m+2 \cdot m \cdot l-m^2+l} }$
$k=\frac{ m }{ \sqrt{m \cdot (m-2 \cdot l-2)} }$
Допустима ли такая параметризация?
Подстановка их в исходное уравнение дает тождество. Вроде допустима? Но, все же, 5-й порядок!
Заранее всем благодарен за конструктив!

[iifat]

Ну, по идее, надо б ещё полноту доказать. То бишь, что все точки соответствуют неким $m$ и $l$

[Markiyan Hirnyk]

Над каким полем рассматривается поверхность? Если над полем действительных чисел, то параметризация не полна, т. к. она не описывает точку $i=1,j=-1,k=-1.$

[Volik]

Подразумеваются действительные числа. У меня не возникло трудностей с любой комбинацией $(i= \pm 1, j= \pm 1 k= \pm 1)$, при соответствующем выборе знаков для каждого из двух различных радикалов и m. Я видел только ограничение $i \neq 0, j \neq 0$

[Shadow]

Полное решение навярника можно записать и так:

$k=m,\;i=l,\;j=\cdots$ ну корни квадратного уравнения с условиями неотрицательности дискриминанта и деления на 0.

Вобщем, неясно что делаеться и зачем. Что-то опять секретное связанное с рациональным кубоидом? Но радикалы очень плохо смотрятся.

[Volik]

Shadow в сообщении #1346501 писал(а):

Полное решение навярника можно записать и так:

$k=m,\;i=l,\;j=\cdots$ ну корни квадратного уравнения с условиями неотрицательности дискриминанта и деления на 0.

Вобщем, неясно что делаеться и зачем. Что-то опять секретное связанное с рациональным кубоидом? Но радикалы очень плохо смотрятся.

1)Понятно, что можно фиксировать две из трех переменных и решать относительно третьей, но это ничего не проясняет.
2)Связано и с кубоидом но, прежде всего с Эйлеровыми параллелепипедами.
3)Чем плох вид радикалов?

[Shadow]

Volik в сообщении #1346509 писал(а):

1)Понятно, что можно фиксировать две из трех переменных и решать относительно третьей, но это ничего не проясняет.

А так проясняет

Volik в сообщении #1346509 писал(а):

3)Чем плох вид радикалов?

Тем, что их есть.
Но вам виднее.