Число Эйлера-Маскерони

[leonov.oleksii]

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей на доказательство. Задача звучит так:
"Доказать равенство $1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n = C + ln(n) + o(1)$", где С = постоянная Эйлера-Маскерони.
С чего здесь вообще стоит начать?

[thething]

С доказательства существования предела последовательности $x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n$. Какие знаете критерии? Какой бы стали применять тут?

[leonov.oleksii]

thething в сообщении #1346452 писал(а):

С доказательства существования предела последовательности $x_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n$. Какие знаете критерии? Какой бы стали применять тут?

Знаю, что сходимость этой последовательности можно доказать через теорему Вейерштрасса. Это можно как-то применить?

[thething]

Нужно, доказывайте монотонное убывание и ограниченность снизу. Используйте для этого оценки $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$.

[leonov.oleksii]

thething в сообщении #1346465 писал(а):

Нужно, доказывайте монотонное убывание и ограниченность снизу. Используйте для этого оценки $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<e<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$.

Я получил, что эта последовательность монотонно убывает и ограничена снизу - больше нуля. Теперь я просто могу утверждать, что $\lim $x_n = \sum\frac1k = C$ и $x_n = C + o(1)$?

[thething]

leonov.oleksii в сообщении #1346474 писал(а):

Теперь я просто могу утверждать, что $x_n = C + o(1)$?

Да. Саму постоянную отсюда не найти. Да и сложно её искать, вряд ли тут это требуется.

[leonov.oleksii]

thething в сообщении #1346478 писал(а):

leonov.oleksii в сообщении #1346474 писал(а):

Теперь я просто могу утверждать, что $x_n = C + o(1)$?

Да. Саму постоянную отсюда не найти. Да и сложно её искать, вряд ли тут это требуется.

Спасибо большое.