Равномерно распределенные векторы в многомерном пространстве

[me2beats]

Есть школьная задача:
Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами 20°?

У меня обратная задача и более общая
Нужно найти, как могут быть равномерно расположены эти спицы (векторы), если известно их число $n$ и известна размерность пространства $d$. То есть найти такие вектора.

В двумерном пространстве $d=2$ решить задачу легко:
угол между каждой парой соседних векторов должен быть равен $360°/n$

Допустим:
$d = 2$ (двумерное пространство, плоскость)
$n = 2$ (нужно получить два вектора)

Тогда на выходе получаем любые два противоположно направленных двумерных вектора.
Например (0,1) и (0,-1) [6:00 утра на циферблате]
Или (1,0) и (-1,0) [~9:15]

Если $n = 3$, то это три вектора, которые, образно, разрезают пиццу на 3 равные части (с углами по 120° между каждыми соседними парами векторов);
если $n = 4$, то то на 4 равные части и тд.

В трехмерном пространстве примерно то же самое, хотя сложнее понять какие из векторов, выходящих из одной точки , являются соседними

А на многомерном пространстве $d>3$ я просто застрял.
Проблема в том, что я не знаю как кратко сформулировать вопрос, поэтому даже не понятно, с какой стороны подступиться.

Замечу: не обязательно, чтобы векторы были одинаковой длины или пересекали одну точку
(в примерах выше они использованы просто для наглядности).
Но нужно получить набор векторов с конкретными координатами.

Нужен алгоритм, как получить хотя бы 1 набор таких "равномерно распределенных" векторов

То есть попробую еще раз сформулировать, но немного по-другому:
Нужно получить набор векторов с равномерно разной направленностью.
Если их представлять как числа, то это циклическая последовательность с одинаковым шагом
Или равномерно распределенные точки на окружности и тд

Как это можно сделать / в какую сторону копать?

[Someone]

me2beats в сообщении #1346053 писал(а):

равномерно расположены

Нужно уточнить, в каком смысле "равномерно расположены".
Ладно, на плоскости это, допустим, понятно. А в трёхмерном пространстве совсем не ясно.
Например, для $n=4$ векторов мы можем взять правильный тетраэдр и взять векторы, идущие из центра тетраэдра в его вершины. А что будет для $n=5$?

[Grom Hellscream]

me2beats
Скорее всего, вам подойдут векторы, смотрящие в вершины правильного многогранника. Тогда в размерностях 3 и выше можно разместить не любое количество таких векторов (в трехмерном для 4, 6, 8, 12 и 20, в четырехмерном для 5, 8, 16, 24, 120 и 600, в 5 и выше только для $n+1, 2n, 2^n$.

[Munin]

В самом простом виде задача полностью решена:
- в 2-мерном пространстве существует $\infty$ правильных многоугольников;
- в 3-мерном пространстве существует ровно 5 правильных многогранников (платоновы многогранники);
- в 4-мерном пространстве существует ровно 6 правильных многогранников;
- в $d>4$-мерном пространстве существует ровно 3 правильных многогранника.

Если искать, скажем, полуправильные многогранники, то задача становится более обширной, и может быть, нерешённой даже в 3- и 4-мерном случае.

Если исходить из произвольного "числа спиц" $n,$ то придётся идти на несколько неравные расстояния между ними, и это становится задача оптимального распределения зарядов на сфере. (На этом форуме про неё есть темы.) Она совсем не решена, даже для 9-10 зарядов на сфере в 3-мерном пространстве. В ней ещё копать и копать.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Математика (общие вопросы)»

[g______d]

Munin в сообщении #1346087 писал(а):

Если исходить из произвольного "числа спиц" $n,$ то придётся идти на несколько неравные расстояния между ними

Не очень понятно, что значит "неравные", у нас же даже в правильных конфигурациях равны только расстояния между ближайшими (и равенство расстояний между ближайшими можно получить в явно не оптимальных конфигурациях).

Цитата:

это становится задача оптимального распределения зарядов на сфере.

Наверное, какая-то связь есть, но "становится" я бы не стал говорить. Задача Томпсона -- это задача минимизации вполне конкретной функции, а задаче в топике даже чётко не сформулирована в таких терминах.

[Munin]

Я именно пытался как-то угадать варианты чётких формулировок в нечёткой. Больше не буду.

[me2beats]

Пожалуйста, проверьте, верен ли ход мыслей:

Многогранники — это похоже то, что надо.
Но, похоже, только в пространстве 3D

Ведь, если правильно понимаю, многогранник — фигура всегда трехмерная, то есть она и в 4D пространстве остаётся трехмерной

Значит в 4D всегда можно будет найти ось, которая окажется неиспользованной, незадействованной. А этого по условию быть не должно!

Если говорить более математическим языком то,
Для любого многогранника в размерности $d$ всегда найдётся $d-3$ оси по которым для данного многогранника все точки будут равны нулю.

То есть для 5D пространства таких осей будет уже 2, для 6D — 3 и т.д.

Тогда можно прийти к выводу что:

1) мне нужна правильная или почти правильная фигура

2) эту фигуру в данном пространстве нельзя расположить так, чтобы по какой-то оси все точки фигуры были равны нулю.

По-моему мысли идут в правильном русле!
Для 2D пространства это был многоугольник
Для 3D это уже многогранник
Тогда для 4D нужно еще добавить размерность (чем 4d хуже?)

Получается для 4D этого будет некий многосферник (??)
И тд

Есть ли общее название такой фигуры?

[Munin]

me2beats в сообщении #1346331 писал(а):

Ведь, если правильно понимаю, многогранник — фигура всегда трехмерная

В моей реплике - нет, подразумевался $n$-мерный многогранник. Читайте "политоп", если вам так больше нравится.

[arseniiv]

me2beats в сообщении #1346331 писал(а):

Тогда для 4D нужно еще добавить размерность

Да, нужно, и это будет многоячейник или 4-политоп (многогранник — 3-политоп, многоугольник — 2-политоп). Но Munin уже сказал, что в общем случае их всего три, и с не очень-то большим числом вершин. И если вдруг вам надо расположить достаточно много точек на $n$-сфере так, чтобы они были в каком-то смысле равномерны, политопы не подойдут и, кроме того, вам в любом случае нужно доформулировать, в чём точно заключается задача. Спросить того, кто вам её задал.

В случае, если точек очень много и нужно, чтобы в достаточно больших (и, для удобства определений, близких по форме к кругу) кусках сферы одинаковой площади попадалось всегда практически одинаковое число точек, в больших масштабах линейно зависящее от площади куска, можно использовать алгоритмы суперсемплинга, применимые к ($n$-)сфере, типа такого (пример там — нижняя сфера). Только сразу не радуйтесь — этот случай совсем не обязательно ваш, я просто написал то, о чём в курсе, по набежавшим ассоциациям.

[me2beats]

arseniiv в сообщении #1346344 писал(а):

me2beats в сообщении #1346331 писал(а):

Тогда для 4D нужно еще добавить размерность

Да, нужно, и это будет многоячейник или 4-политоп (многогранник — 3-политоп, многоугольник — 2-политоп). Но Munin уже сказал, что в общем случае их всего три, и с не очень-то большим числом вершин. И если вдруг вам надо расположить достаточно много точек на $n$-сфере так, чтобы они были в каком-то смысле равномерны, политопы не подойдут и, кроме того, вам в любом случае нужно доформулировать, в чём точно заключается задача. Спросить того, кто вам её задал.

В случае, если точек очень много и нужно, чтобы в достаточно больших (и, для удобства определений, близких по форме к кругу) кусках сферы одинаковой площади попадалось всегда практически одинаковое число точек, в больших масштабах линейно зависящее от площади куска, можно использовать алгоритмы суперсемплинга, применимые к ($n$-)сфере, типа такого (пример там — нижняя сфера). Только сразу не радуйтесь — этот случай совсем не обязательно ваш, я просто написал то, о чём в курсе, по набежавшим ассоциациям.

Задачу формулирую сам)
У меня будет 512D пространство, а точек — от 1000, лучше в районе 10000 (число точек задаю сам)

Только я запутался — мне нужна $n$-мерная сфера или гиперсфера?

[me2beats]

Вернее: $n-1$ - сфера в $n$-мерном пространстве.
Получается мне нужна именно такая, правильно?

[slavav]

В 512-тимерном пространстве можно естественным образом разместить 1024 вектора.

[Grom Hellscream]

slavav в сообщении #1346365 писал(а):

В 512-тимерном пространстве можно естественным образом разместить 1024 вектора.

И все эти векторы будут смотреть в вершины правильного октаэдра, нет?