Что особенного в + - х ÷ √

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1346031 писал(а):

В смысле - куда? Алгебраической функцией он не является.

Но задать алгебраическим выражением $\sqrt{x^2}$ его можно.

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1346203 писал(а):

Но задать алгебраическим выражением $\sqrt{x^2}$ его можно.

Нельзя. Этим выражением задается функция $f(x) = \pm x$.

[arseniiv]

А, интересно. То есть мы выбираем одну из аналитических функций, удовлетворяющих уравнению $f(x)^2 = x^2$? Но это ведь не обычный (ну как минимум после школы) способ понимания фразы «выражение $E$ задаёт функцию $f$», по нему получился бы модуль.

[mihaild]

Нет, это мы берем одну многозначную аналитическую функцию.

[Epsilon-Delta]

Munin, спасибо за такой развёрнутый ответ.

Munin в сообщении #1346111 писал(а):

- математический анализ (в той части, где выражения исследуются как функции);

Функции (даже изучаемые в школе) относятся к мат. анализу, потому что даже чтобы просто провести график функции, нужно сначала доказать её непрерывность? Т.е. в школе мы наивно предполагаем эту непрерывность, а в анализе она доказывается? Но почему в определении непрерывности появляются пределы? Почему недостаточно сказать «Функция непрерывна в точке, если она определена в данной точке?»

Munin в сообщении #1346111 писал(а):

Некоторые числа - такие как $\pi$ и $e$ - можно построить только как бесконечные последовательности сближающихся к ним "алгебраических чисел".

Я читал об этом в книге Куранта и Роббинса. Они пишут: «Важность понятия предела в математике заключается в том, что многие числа могут быть определены лишь как пределы». Что они имеют в виду под «многими» числами? Из вашего сообщения следует, что речь идёт только об иррациональных трансцендентных числах. Но разве иррациональное алгебраическое число может быть определено иначе, как предел? Например, если я записываю $\sqrt{2}$, то я же ещё не записал иррациональное число. Я записал операцию, и я знаю, что результатом её выполнения будет иррациональное число, но само это число я могу выразить только через предел.

Munin в сообщении #1346111 писал(а):

Школьнику дают список правил, как выполнять все эти действия ${+},{-},{\cdot},{/},\sqrt[n]{\phantom{x}}$

Когда я писал заглавный пост, у меня была своя версия ответа на вопрос об особенности этих операторов. Заключается она в том, что это единственные операции, для которых существуют алгоритмы выполнения, называемые в школе вычислением «в столбик». Т.е. в конечном счёте только эти пять операций мы и умеем выполнять, а все остальные сводятся к их конечным или бесконечным комбинациям. Насколько, на ваш взгляд, верна такая точка зрения?

-- 14.10.2018, 17:52 --

mihaild в сообщении #1346050 писал(а):

Epsilon-Delta в сообщении #1346049 писал(а):

И можно привести примеры алгебраических функций, которые образованы какими-то операторами помимо этих пяти?

mihaild в сообщении #1346047 писал(а):

например, функцию, задаваемую полиномом $x_1 y^5 + x_2 y^4 + x_3 y^3 + x_4 y^2 + x_5 y^1 + x_6 y^0$ через него выразить не получится

mihaild в сообщении #1346050 писал(а):

-почему из всех алгебраических функций выбраны именно эти? (ответ: в основном по историческим причинам)

Я имею виду следующее: можно ли привести примеры алгебраических функций, которые образованы с участием какой-либо иной операции помимо тех пяти? (в вашем примере функция образована сложением и умножением, входящими в 5 рассматриваемых операций)

mihaild в сообщении #1346050 писал(а):

-а что такого интересного в алгебраических функциях? (ответ: полиномы имеют кучу важных свойств, да и сами алгебраические функции возникают, например, в теореме Лиувилля)

Как раз хотел написать об этом: хотя ваше определение не ссылается на эти 5 операций, оно строится на понятии многочлена, т.е. выражения, сконструированного только из сложением и умножением. Т.е. тогда возникает новый вопрос, почему многочлены оказываются в центре внимания. Вы можете перечислить основные важные свойства, о которых упомянули? Относится ли к ним свойство, утверждаемое основной теоремой алгебры? ("Любой многочлен ненулевой степени имеет хотя бы один комплексный корень".)

[Anton_Peplov]

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Почему недостаточно сказать «Функция непрерывна в точке, если она определена в данной точке?»

Потому что непрерывность - отдельное свойство. Существуют точки, где функция определена, но не непрерывна. Например, такая функция:

$$f(x) = \begin{cases} 1,&\text{если $x\ne 0$;}\\ 0,&\text{если $x=0$;}\\ \end{cases}$$

(нарисуйте график). Эта функция всюду определена, но не всюду непрерывна.

Другой пример - функция Дирихле

$$f(x) = \begin{cases} 0,&\text{если $x$ рациональное;}\\ 1,&\text{если $x$ иррациональное;}\\ \end{cases}$$

(схематически изобразите график). Эта функция всюду определена, но нигде не непрерывна.

-- 14.10.2018, 18:17 --

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Когда я писал заглавный пост, у меня была своя версия ответа на вопрос об особенности этих операторов. Заключается она в том, что это единственные операции, для которых существуют алгоритмы выполнения, называемые в школе вычислением «в столбик». Т.е. в конечном счёте только эти пять операций мы и умеем выполнять, а все остальные сводятся к их конечным или бесконечным комбинациям. Насколько, на ваш взгляд, верна такая точка зрения?

А Вы умеете извлекать в столбик квадратный корень? Это круто...

Если серьёзно, то алгоритмы вычисления "в столбик" ни для кого, кроме школьников, образцом не служат. И уж тем более они не используются, чтобы найти значение синуса или экспоненты.

[Sender]

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Я имею виду следующее: можно ли привести примеры алгебраических функций, которые образованы с участием какой-либо иной операции помимо тех пяти? (в вашем примере функция образована сложением и умножением, входящими в 5 рассматриваемых операций)

Думаю, тут требуется уточнить, что вы понимаете под функцией, образованной с участием неких операций.

[Epsilon-Delta]

Sender в сообщении #1346237 писал(а):

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Я имею виду следующее: можно ли привести примеры алгебраических функций, которые образованы с участием какой-либо иной операции помимо тех пяти? (в вашем примере функция образована сложением и умножением, входящими в 5 рассматриваемых операций)

Думаю, тут требуется уточнить, что вы понимаете под функцией, образованной с участием неких операций.

Функцию, являющуюся суперпозицией этих функций (операций).

[Sender]

Epsilon-Delta в сообщении #1346241 писал(а):

Функцию, являющуюся суперпозицией этих функций (операций).

В таком случае как, по-вашему, выглядит представление в виде такой суперпозиции функции $y(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$ из примера mihaild, неявно заданной уравнением $x_1 y^5 + x_2 y^4 + x_3 y^3 + x_4 y^2 + x_5 y^1 + x_6 y^0=0$?

[Someone]

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Почему недостаточно сказать «Функция непрерывна в точке, если она определена в данной точке?»

Потому что это неверно. Простейший пример — функция сигнум (знак):

$$\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}-1\text{, если }x<0,\\ \hphantom{-}0\text{, если }x=0,\\ \hphantom{-}1\text{, если }x>0.\end{cases}$$

К формулировкам определений и теорем, которые Вы изучаете, следует относиться очень внимательно. Не заменяйте их отсебятиной, они отрабатывались столетиями.

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Функции (даже изучаемые в школе) относятся к мат. анализу, потому что даже чтобы просто провести график функции, нужно сначала доказать её непрерывность?

Для построения графика не надо доказывать непрерывность. Вообще, Вам, скорее всего, дали некую "схему исследования функций и построения графиков". Обычно там присутствует пункт о точках разрыва. И где-то в лекциях или учебнике математического анализа может присутствовать определение элементарной функции и теорема "элементарная функция непрерывна везде, где определена". Сигнум, например, не является элементарной функцией, а рациональные функции являются.

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Но разве иррациональное алгебраическое число может быть определено иначе, как предел? Например, если я записываю $\sqrt{2}$, то я же ещё не записал иррациональное число.

Алгебраические числа определяются как корни многочленов с целыми коэффициентами. Никаких пределов для этого не требуется. Их также можно вычислять с произвольной точностью, просто подбирая рациональные приближения сверху и снизу (путём подстановки рациональных чисел в многочлен; желательно предварительно исключить кратные корни). И тоже никаких пределов. Боюсь, Вы путаете определение с вычислением или чем-то ещё.

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Я имею виду следующее: можно ли привести примеры алгебраических функций, которые образованы с участием какой-либо иной операции помимо тех пяти? (в вашем примере функция образована сложением и умножением, входящими в 5 рассматриваемых операций)

Вы не поняли. Возможно, mihaild сказал нечто, само собой разумеющееся для специалистов, но не для Вас. Раз уж мы говорим об алгебре, то мы можем определять "функции" алгебраическими уравнениями. Например, определим "функцию" $y=y(x)$ уравнением

$$y^5-xy+10x-11=0.$$

Ещё в 1823 году норвежский математик Нильс Хенрик Абель доказал, что решение уравнения пятой степени, как правило, нельзя выразить через арифметические операции и радикалы. То, что я написал, является уравнением пятой степени относительно функции $y$. Известно (Ван дер Варден. Алгебра. § 67), что корни уравнения $y^5-y-1=0$ не выражаются через арифметические функции и радикалы. Написанное выше уравнение для функции $y=y(x)$ при $x=1$ превращается в $y^5-y-1=0$, поэтому его решения тоже не выражаются через арифметические функции и радикалы. Тем не менее, $y$ является алгебраической "функцией". Я пишу слово "функция" в кавычках, потому что алгебра не рассматривает функции как таковые, она работает просто с алгебраическими выражениями. Но в математическом анализе на эти же выражения смотрят как на функции и изучают их совсем другими методами, отсутствующими в алгебре.

Epsilon-Delta в сообщении #1346224 писал(а):

Когда я писал заглавный пост, у меня была своя версия ответа на вопрос об особенности этих операторов. Заключается она в том, что это единственные операции, для которых существуют алгоритмы выполнения, называемые в школе вычислением «в столбик».

Дело, разумеется, не в "алгоритмах в столбик". Этот набор операция возник исторически. (Описываемая далее "история" далека от реальной истории. На самом деле всё было не столь прямолинейно.)
Первыми, вероятно, "появились" натуральные числа и операции сложения, вычитания, умножения и деления (вычитание и деление для натуральных чисел не всегда выполнимы). Потом люди додумались до дробей и отрицательных чисел, то есть, до рациональных чисел, для которых все четыре операции выполнимы без ограничений, кроме деления на ноль. Далее появились алгебраические уравнения и их корни, что дало алгебраические числа.
Здесь, собственно, алгебра заканчивается и начинается математический анализ. Введение действительных чисел требует средств, далеко выходящих за пределы алгебры. Кроме того, меняется взгляд на алгебраические выражения, которые теперь рассматриваются как функции, свойства которых изучаются средствами, отсутствующими в алгебре. Причём, понятие функции в анализе много шире, чем понятие алгебраического выражения (формулы), даже если допустить не только арифметические операции, но и любые хоть чуть-чуть изученные функции, для которых имеются какие-нибудь обозначения.

С другой стороны, предмет алгебры много шире, чем можно подумать. Числа и арифметические операции — это весьма частный (хотя и чрезвычайно важный для человечества) пример понятия алгебраической операции, а кроме алгебраических операций в алгебре рассматриваются ещё отношения (хорошо известный пример отношения — отношение порядка на множестве действительных чисел).

[nya]

Топик не читал, ответ следующий: в "высшей алгебре" не выделяют. Там корень любой степени вообще не операция - по крайней мере в большинстве контекстов его крайне неудобно воспринимать как операцию.

+-*/ абстрагируют наше понимание того, как работают такие арифметические системы как Q или R, +-* абстрагируют наше понимание того как работает Z. Это то, как работает абстрактная математика: мы берём нечто, что кажется нам естественным и дальше пытаемся это обобщить на как можно более широкий контекст, чтобы получить новые интересные результаты. Почему Z,Q,R должные казаться естественными или почему +-*/ нам кажется частью структуры R а sin/cos не кажется - это другой вопрос (скорее всего по чисто историческим причинам).

[ewert]

Someone в сообщении #1346266 писал(а):

Потом люди додумались до дробей и отрицательных чисел,

Причём до дробей люди додумались гораздо раньше, чем до чисел отрицательных (хотя, казалось бы, вычитание -- операция гораздо более простая, чем деление).

Someone в сообщении #1346266 писал(а):

Далее появились алгебраические уравнения и их корни, что дало алгебраические числа.

И опять же: это так исторически, но не математически. Что, собственно, является корнем алгебраического уравнения $x^2-2=0$ (в предположении, что действительных чисел ещё нет)?...

Anton_Peplov в сообщении #1346234 писал(а):

А Вы умеете извлекать в столбик квадратный корень? Это круто...

Ну все же умеют делить в столбик (во всяком случае, практически все студенты об этом говорят). Хотя буквально такого способа и не существует. Вот так же и птички корни.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1346386 писал(а):

Причём до дробей люди додумались гораздо раньше, чем до чисел отрицательных (хотя, казалось бы, вычитание -- операция гораздо более простая, чем деление).

Это потому что половину яблока все видели, а вот минус одно яблоко - никто.

[Epsilon-Delta]

Благодарю всех принявших участие в обсуждении, ваши ответы многое для меня прояснили.